鉄人の一通入魂

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2019.2.19配信
絶対に役立つ中学受験専門プロ家庭教師からの必勝アドバイス!
四谷大塚・早稲田アカデミー4・5年生 予習シリーズ算数上 第4回・第5回攻略ポイント

<算数 5年上 第4回 >

第4回は『割合(2)』です。今回は、4年下で学習した割合の復習と、その応用、および、百分率(パーセント、%)や歩合(ぶあい、○割○分)といった、割合の別の表し方を学習します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、割合のいろいろな表し方とそれらの関係を学ぶ問題です。もとにする量を1(このとき、くらべる量は小数また分数となります)とする基本の考え方と、もとにする量を10とする歩合の関係、もとにする量を100とする百分率の関係を表にまとめたものです。数値を歩合や百分率にスムーズに直せるようトレーニングしましょう。

「必修例題2」は、割合の3用法の復習です。割合に関して3通りの公式的なものがあります。“もと にする量×割合=くらべる量”を基本にするとよいでしょう。この基本の形で問題を整頓して、必要なら ば逆算をおこないます。

  1. 40人がもとにする量で、6人がくらべる量ですから、求める割合を□とすると、40×□=6と整頓できます。よって、□=6÷40=0.15より、割合は0.15となります。
  2. もとにする量が2.4L=24dLで、割合が25%=0.25、ですから、くらべる量は、24×0.25=6です。よって、こぼしてしまったジュースの量は、6dLと求められます。この問題のLとdLのような、単位変換で間違いがないように注意しましょう。
  3. はじめに持っていたお金がもとにする量で、660円がくらべる量ですが、これは、持っていたお金の4割5分=0.45の残りです。1−0.45=0.55ですから、もとにする量を□とすると、□×0.55=660円と整頓できます。よって、□=660÷0.55=1200より、はじめに持っていたお金は1200円です。
【攻略ポイント2】

割合の応用である相当算を学習します。相当算とは、“もとにする量×割合=くらべる量”において、くらべる量と割合から、もとにする量を求める問題です。線分図をかいて、条件を整理して考えます。このとき、線分の上の部分に、実際の数量(くらべる量)を、線分の下の部分に割合をかいて整理します(上と下が逆でもかまいません)。線分の上下で、実際の数量と割合のそろう部分に注目して、実際の数量÷割合=もとにする量、を求めます。なお、分数は、分子/分母の形で表します。

「必修例題3」は、相当算の基本となる問題です。
予習シリーズ39ページにある線分図を参照してください。ある本の全部のページ数の3/5より8ページ少ないページ数が残った40ページです。もとにする量の3/5の残りの部分に注目します。3/5の残りは1−3/5=2/5で、この部分が、40−8=32という、くらべる量に相当しています。もとにする量である、本全部のページ数を□として整頓すると、□×(1−3/5)=32となりますので、□=32÷2/5=80より、この本は全部で、80ページあります。

「必修例題4」は、少し難しいタイプの相当算です。このタイプの問題を頭の中だけで解こうとすると、間違えてしまうことが多くなります。線分図をかいて、条件をキチンと整頓することが大切になります。もとにする量は5年生全体の人数で、この人数の40%と45%の合計である85%を除く部分が、7+11=18人という、くらべる量に相当することに注目します。予習シリーズ39ページにある線分図を参照して、このような図が自分でもかけるように練習しましょう。もとにする量を□として整頓すると、□×(1−0.85)=18となりますので、□=18÷0.15=120より、5年生全体の人数は、120人です。

【攻略ポイント3】

割合の合成について学習します。割合の合成とは、割合の割合とも言われるものです。例えば、Aの0.5の量の、(さらに)0.2の量はAのどのくらいの割合になるか、などを求める問題です。この例では、A×0.5×0.2=A×0.1より、0.1となります。もとにする量がことなりますので、くれぐれも割合をたし算しないように気をつけてください。

「必修例題5」は、割合の合成により、新たな割合を考えて、相当算を解く問題です。予習シリーズ40ページの解き方にある線分図を参照してください。 本を読んだ残りのページ数が60ページと与えられていますから、残りのページ数を表す割合に注目して考えます。本全体のページ数を□として、はじめに読んだ残りのページ数は、□×(1−1/4)=□×3/4です。次に、このページ数の5/9を読んだ残りのページ数は、□×3/4×(1−5/9)=□×1/3となります。つまり、□×1/3=60と整頓できます。よって、□=60÷1/3=180より、本全体のページ数は、180ページとわかります。

最後に、還元算について学習します。還元算とは、後から元にもどしていく問題です。途中に実際の数 量が入った割合が含まれる場合に使われます。

「必修例題6」は、還元算の基本となる問題です。予習シリーズ40ページの解き方にある線分図を参 照してください。
 持っているお金の2/5より140円多い金額のCDを買い、残りのお金の3/7でボールを買うと、520円 が残るという問題です。

CDを買った後の所持金の3/7でボールを買った残りが520円とわかっているところから考えます。まずCDを買った後の所持金○円を求めます。○×(1−3/7)=520と整頓できます。○=520÷4/7=910より、CDを買った後の所持金は910円とわかります。910+140=1050円が、太郎君のはじめの所持金の2/5を使った残りとなります。太郎君のはじめの所持金を□とすると、□×(1−2/5)=1050と整頓できますので、□=1050÷3/5=1750より、太郎君のはじめの所持金は、1750円です。
このように、部分、部分で相当算を使って後ろからもどしていく、解き方もマスターしましょう。

<算数 5年上 第5回 >

第5回は『総合』です。基本問題において、第1回から第4回までの基本が理解できているか、確認しましょう。今回は、練習問題の注意すべき問題を取り上げます。

【攻略ポイント1】

※「○の中に数字」の表記が文字化けしてしまう可能性がありますので、マル1、マル2と表記させて頂いております。
 「練習問題1」は、割合の問題の中でもマルイチ算(マルイチ計算)と呼ばれる問題です。持っているお金の40%で本を買い、残りのお金の5/9より250円安い文房具を買うと、残っているお金ははじめのお金の1/3になりました。予習シリーズ別冊の「解答と解説」23ページにある線分図を参照してください。

  1. はじめに持っていたお金をマル1として、整頓していきます。本の値段を表す40%は、分数にすると40%=0.4=2/5ですから、本を買った残りのお金は、1−2/5=3/5より、マル3/5と表せます。また、(本を買った残りのお金である)3/5の5/9は、3/5×5/9=1/3より、マル1/3と表せます。この式が立てられるかどうかがこの問題のポイントです。式の結果より、文房具の値段は、マル1/3より250円安い金額とわかります。本の値段、文房具の値段、最後に残ったお金をすべて加えると、マル2/5+(マル1/3−250)+マル1/3=マル16/15−250円と表すことができます。この数は、はじめに持っていたお金であるマル1と等しいので、マル16/15−250=マル1です。つまり、16/15−1=1/15より、250円は、はじめに持っていたお金の1/15にあたります。よって、250÷1/15=3750より、はじめに持っていたお金は3750円です。
  2. 文房具の値段は、マル1/3−250円と表されましたので、3750×1/3−250=1000より、文房具の値段は、1000円です。
【攻略ポイント2】

「練習問題3」は、平均に関する問題です。
テストの点数の低い順にA点、B点、C点、D点とします。問題にある3人ずつの平均点の条件より、A+B+C=69×3=207点、A+B+D=74×3=222点、A+C+D=79×3=237点、B+C+D =82×3=246点となります。 

  1. 207+222+237+246=912点は、A点、B点、C点、D点を3つずつ合計した点ですから、912÷3=304点が、4人の合計点です。よって、304÷4=76より、4人の平均点は76点です。
  2. 4人の合計点である304点から、低い点数のA+B+C=207点を除くと、最高得点のDが求められます。304−207=97より、最高得点は97点です。
【攻略ポイント3】

「練習問題4」は、図形を折った問題です。折った部分は、形も大きさも同じ図形が移っていることに注目します。予習シリーズ別冊の「解答と解説」23ページにある図を参照してください。

  1. 正方形ABCDの面積は15×15=225平方cmで、正方形PQRSの面積は137平方cmです。この面積の差である、225−137=88平方cmは、4つの直角三角形、APS、BQP、CRQ、DSRの面積の合計です。これらの4つの直角三角形を折りましたから、内側に折られた部分である4つの直角三角形の面積の合計も88平方cmということになります。よって、正方形ABCDの面積から88平方cmを2つ分引いた面積が、かげをつけた部分の面積となります。225−88×2=49より、かげをつけた部分の面積は49平方cmです。
  2. かげをつけた図形をアとします。アの図形の外角1つは直角ですから、アの図形の内角1つも直角です。また、アの図形の辺の長さは、折った直角三角形の直角をはさむ2つの辺の長さの差になっていることに注目します。ですから、すべて等しくなります。よって、アの図形は、4つの角が直角で、4つの辺が等しいので正方形です。問題の図の見た目から正方形と判断するのではなく、上記のような過程を経て判断に至るように気をつけましょう。面積が49平方cmですから、49=7×7より、正方形であるアの図形の1辺の長さは7cmです。この長さ7cmは、直角三角形の直角をはさむ2つの辺の長さの差で、また、この2つの辺の長さの和は、正方形ABCDの1辺の長さである15cmですから、和差算を使って、(15+7)÷2=11より、APの長さは11cmとなります。

<算数 4年上 第4回 >

第4回は『和差算』です。2つの量の和と差から、それぞれの量を求める問題です。予習シリーズ31ページにある線分図を参照してください。考え方の基本にあるのは、求める量の2つ分はいくつかを作ることです

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、線分図から、長い方の長さを求める問題です。文章にすると、“直線アと直線イがあり、2本の直線の長さの和は14で、長さの差は6です。長い方の直線アの長さはいくつですか。”という問題になります。短い直線イを6長くすると、直線アの長さが2本分となり、合計は14+6=20になります。よって、20÷2=10より、直線アは10となります。この計算を1つの式で表すと、(14+6)÷2=10となります。

「必修例題2」は、和差算の文章題です。
 29ひきのメダカがいて、オスがメスより5ひき多いときの、メスの数を求めます。メスの数はオスより5ひき少ないので、合計の29ひきから5ひきを引くと、メスの数の2つ分になり ます。よって、(29−5)÷2=12より、メスの数は、12ひきです。

【攻略ポイント2】

「必修例題3」は、文章中の条件から、和と差を読み取ることがポイントになります。2人の年令の平均が13才ですから、ここから2人の年令の和は、13×2=26才とわかります。また、兄は弟より4才年上ということから、2人の年令の差が4才とわかります。和の26才と、差の4才を使って、和差算をときます。(26+4)÷2=15より、兄の年令は、15才です。平均については、予習シリーズ33ページの説明をよく読んで理解してください。

【攻略ポイント3】

「必修例題4」は、3つの数量の中で和や差を使って、特定の数量を求める問題です。線分図をかいて整頓することが大切です。予習シリーズ34ページの解き方にある線分図を参照してください。

  1. 三郎君は一郎君より2まい多く持っていて、一郎君は二郎君より5まい多く持っています。よって、2+5=7より、三郎君は、二郎君より7まい多くもっています。
  2. 二郎君のまい数と同じになるように、一郎君の持っているまい数を5まい、三郎君の持っているまい数を7まい少なくします。すると、3人の持っているまい数の合計は、42−5−7=30まいになりますが、これは、二郎君の持っているまい数の3つ分です。よって、30÷3=10より、二郎君の持っているまい数は、10まいです。

<算数 4年上 第5回 >

第5回は『総合』です。基本問題において、第1回から第4回までの基本が理解できているか、確認しましょう。今回は、練習問題の注意すべき問題を取り上げます。

【攻略ポイント1】

「練習問題1」は、かけ算とわり算の文章題です。

  1. 春子さんが、24ページずつ読んだ日数は、16−1=15日です。この15日間で読んだページ数は、24×15=360ページ。 そして16日目に15ページ読んで読み終わりましたから、360+15=375より、この本は375ページあります。
  2. この本のページ数が実際のページ数より5ページ多ければ、秋子さんは、20日間すべて、同じページ数を読んだことになります。よって、(375+5)÷20=19より、毎日19ページ読みました。
【攻略ポイント2】

「練習問題4」は、かけ算とわり算の文章題ですが、文章の読み取りが難しい問題です。問題内容を整頓すると、32箱のうち、18箱にクッキーを9個ずつ入れ、32−18−3=11箱にクッキーを7個ずつ入れたことになります。

  1. 9×18+7×11=162+77=239より、クッキーは全部で239個ありました。
  2. 239÷6=39あまり5より、クッキーを6個ずつ入れる箱が39箱、あまりの5個を入れる箱が1箱必要です。よって、必要な箱の数は、39+1=40箱ですから、40−32=8より、あと8箱必要です。答えが出たと安心して、あやまって答えを「40箱」としてしまわないように、問題で何を求めなければならないのか、十分に注意するようにしましょう。
【攻略ポイント3】

「練習問題5」は、和差算の文章題です。難しいと思われますので、しっかり取り組んでください。たつや君とのり子さんの2人に配ったカードについて、全部の数字の合計(1から8まで)がわかり、2人の持っているカードの数字の合計の差(8の差)がわかっていることがポイントとなります。

  1. 8まいすべてのカードの合計は、1から8までの数字の和で36です。また、のり子さんの持っているカードの数字の合計はたつや君の持っているカードの数字の合計より8小さいです。よって、和差算を使って、(36−8)÷2=14より、のり子さんの持っている4まいのカードの数字の合計は14と求められます。
  2. のり子さんのカードには4がありますから、残りの3まいのカードの数字の合計は、14−4=10です。3まいの数字の合計が10になる組み合わせを考えます。ただし、1から8までのカードのうち、たつや君の持っている3、のり子さんの持っている4を除いて考えます。すると、あてはまるのは(7、2、1)だけです。よって、のり子さんの持っているカードは、数字の小さい方から順に、1、2、4、7です。

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