鉄人の一通入魂

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2019.1.17配信
絶対に役立つ中学受験専門プロ家庭教師からの必勝アドバイス!
四谷大塚・早稲田アカデミー 5年生1月27日(日)・4年生1月26日(土)組分けテストの攻略ポイントベスト5(5年生)、ベスト3(4年生)を発表します!

第9回組分けテストは、5年生は「点の移動」や「図形の回転」といった平面図形からの難問が多く出題されることが予想され、また「年令算」などの単元からも基本から一歩踏み込んだ問題が出される可能性が高くなります。
 4年生も「場合の数」そして「速さ」と、入試頻出の重要単元が多く含まれます。
 問題内容を整理するために図を活用し、また数値を記号化して解き進めるといったステップが必要となり、それらの解法を身につけるには練習を重ねることが大切になります。 それでもどのような点に注意して練習を進めればよいのか、迷われてはいないでしょうか?
 そこで今回は、第9回組分けテスト対策について、ぜひ気をつけて頂きたいポイントを、5年生は第5位から第1位まで、4年生は第3位から第1位までのランキングのかたちでご紹介します。 このランキングを参考に復習を進めて、ぜひ万全の構えで組分けテストに臨んでください!

また、5年生は攻略ポイントだけでなく予想問題付きです。解説も準備しますので、間違えた箇所はとくに読み込んで本番で同じ間違いをしないように注意してください。問題は明日1/18(金)のお昼ごろ 鉄人会のHPにアップ致します。アップが完了しましたら、メルマガ、フェイスブック、ツイッターでもお知らせ致しますので、ぜひ鉄人会のフェイスブック、ツイッターもフォローしてください!
予想問題をアップするページはこちらです。ぜひ、ブックマークをしておいてください!

それではランキングの発表です。まずは5年生の第5位からです!

《5年 第9回組分けテスト(下巻第19回)》

※「○の中に数字」の表記が文字化けしてしまう可能性がありますので、マル1、マル2と表記させて頂いております(4年のランキングでも同じく表記させて頂いております)。

【第5位 第11回から第14回までの復習】

点数にして約3割を占めます。もう一度基本事項を確認して「簡単な問題なのにやり方を忘れていて解けなかった」という事が無いようにしましょう。特に確認したいものは以下の通りです。

  • 第11回 時計算
  •  
  • 第12回 流水算、通過算
  •  
  • 第13回 仕事算、ニュートン算
  •  
  • 第14回 容器を傾ける問題
【第4位 年令算:2人以上の年令の和を考える問題に対応できていますか?】

年令算では、「人は1年に必ず1才年をとる」という当たり前のことがとても重要です。 特に2人以上で年令の和を考えるときに注意しましょう。

「現在、両親の年令の和は73才です。また、3人の子供の年令は7才、5才、3才です。両親の年令の和が子供の年令の和の3倍になるのは今から何年後ですか。」

という問題で年令算の基本的な考え方を確認してみましょう。
 まず、求めるものをマル1年後とします。次に問題文から比例式をたてます。そして、その比例式を解いて、マル1を求めると答えになります。
 実際にやってみましょう。求めるものをマル1年後として、比例式をたてると、(73+マル1×2):(7+5+3+マル1×3)=3:1となります。両親2人分なのでマル1×2、子供3人分なのでマル1×3を加えることがポイントとなります。内項の積と外項の積は等しいので、(15+マル3)×3=(73+マル2)×1となり、式を展開すると45+マル9=73+マル2となります。マル7=28なので、マル1=4となり、答えは4年後と求まります。
 このような方針で考えていくと迷うことは減っていきます。解き方のパターンとして押さえておきましょう。

【第3位 円周上の点の移動:角速度を正確に使うことができていますか?】

次の問題を考えてみましょう。

「中心をOとする円周60cmの円があります。点P、Qは円周上の点Aを出発し、どちらも右回りに点Pが1周するまで動きます。点Pの速さが毎秒5cm、点Qの速さが毎秒3cmであるとき、三角形APQがはじめて二等辺三角形になるのは出発してから何秒後ですか。」

円周上の点の移動では、角速度を使って問題を解いていきます。予習シーズ5年下第11回で学習した時計算のときの考え方と同じです。しっかりと図をかいて考えていきましょう。
 まず、角速度を求めます。Pは 60÷5=12(秒) で1周しますから、Pの角速度は 360÷12=30(度/秒) と求まります。同様にQは 60÷3=20(秒)、360÷20=18(度/秒) と求まります。
 次に求める時間をマル1秒後とすると、角AOP(点Pが移動した方の中心角)=30×マル1=マル30、角AOQ(点Qが移動した方の中心角)=18×マル1=マル18 と計算できます。

  1. AP=AQとなる場合
    図をかいてみると、三角形APOと三角形AQOが合同であることが分かるので、角AOP=角AOQ=マル18となります。すると、マル18+マル30=360(度)となっているので、マル48=360、マル1=7.5となり、7.5秒後と求まります。
  2. PA=PQとなる場合
    図をかいてみると、三角形PAOと三角形PQOが合同であることが分かるので、角AOP=角QOP=マル30−マル18=マル12となります。すると、マル12+マル30=360(度)となっているので、マル42=360(度)、マル1=8・4/7となり、8・4/7秒後と求まります。
  3. QA=QPとなる場合
    図をかいてみると、三角形QPOと三角形QAOが合同になるはずですが、角QOP=マル12、角QOA=マル18 となるので、点Pが1周するまでにQA=QPとなることはありません。
    以上より、答えは7.5秒後と求まります。
     このように角速度を使って考えていくと、円周上の点の移動に関する問題はかなり解き易くなります。入試問題などでも出題される「半径の違う円の円周上を点が移動する問題」も角速度を使えば同じように考えることができます。ぜひ身につけておきたい解法の1つです。
【第2位 いもづる算:3量の関係を2量の関係とする解法は理解できていますか?】

3量のいもづる算のポイントは、問題文の条件を上手く使って2量のつるかめ算に直して考えることです。実際に以下の問題を通して確認してみましょう。

「1冊の値段が200円、180円、150円の3種類のノートを合わせて21冊買ったところ、代金は3890円になりました。200円のノートの冊数が、150円のノートの冊数の4倍より2冊少ないとすると、200円のノートは何冊買いましたか。」

200円のノートをあと2冊買ったことにすると、冊数は21+2=23(冊)、代金は3890+200×2=4290(円)にかわります。このとき、200円のノートの冊数は150円のノートの冊数の4倍になっているので、「200円のノート4冊と150円のノート1冊を1組として、平均の値段で考える」ことができます。(200×4+150×1)÷(4+1)=190(円)と計算でき、200円、150円という2種類の金額を190円にまとめることができました。
 条件を整理すると、はじめの問題文から、「1冊190円と180円の2種類のノートを合わせて23冊買ったところ、代金は4290円になりました。」に変化したことになります。
 つるかめ算を使って190円のノートの冊数を求めると、(4290−180×23)÷(190−180)=15(冊)となります。これは、150円のノート1に対して200円のノート4の割合で合わせた冊数ですので、200円のノートの冊数は、15÷(4+1)×4=12(冊)となりますが、ここで安心してはいけません。計算し易いように200円のノートは2冊多く買ったことにしていたので、実際の冊数は12−2=10(冊)になります。
 3量のいもづる算では「全部で何通りですか」という問題もあります。そのときは調べなければいけませんが、この問題のように計算でできる問題まで調べていたのでは時間がかかってしまいます。計算で求められる問題は極力計算で求められるように練習しておきましょう。

【第1位 回転移動:図をかいて回転の中心と回転する図形の位置関係を把握しましょう!】

回転移動は図をかいて、その図から求めなければならない部分を正確に把握することが重要です。上達方法は何度も図をかいて考える以外にありません。しっかり練習していきましょう。

「AB=15、BC=20、CA=25で角Bが直角である三角形ABCがあります。この三角形を、頂点Bを中心に1回転させました。三角形ABCが通ったあとの図形の面積は何平方cmですか。また、辺ACが通ったあとの図形の面積は何平方cmですか。ただし、円周率は3.14とします。」

考え方は、回転の中心と回転する図形の位置関係に着目することです。回転の中心の位置を考えて解きましょう。

「回転の中心(頂点B)が回転する図形(三角形ABC)上にある」ので、求める面積は「回転する図形上の点で、回転の中心から最も遠い点が通過してできた円の面積」となります。頂点Bから最も遠い点は頂点Cなので、20×20×3.14=1256(平方cm)と求まります。
次は辺ACが通ったあとの面積です。
図をかいてみると、ABを半径とする円とCBを半径とする円がかけます。辺ACが通ったあとだからといって、この2つの円の間の面積を求めようとすると間違えます。図をよくみるとABを半径とする円の内側に辺ACが入っている部分があります。ですので、もう少し内側まで辺ACが通っていることがわかります。
 「回転の中心(頂点B)が回転する図形(辺AC)の外側にある」ので、求める面積は「回転する図形上の点で、回転の中心から最も遠い点が通過した部分と、最も近い点が通過した部分の間の面積」となります。最も遠い点は点Cですが、最も近い点はどこでしょう。頂点Bから辺ACまでの長さで最も短い長さは、頂点Bから辺ACに引いた垂線の長さです。したがって、垂線の足をDとすると最も近い点はDということになります。あとはBDの長さですが、三角形ABCの面積を利用して、25×BD÷2=15×20÷2、BD=12(cm)と求まります。
 以上のことから、20×20×3.14−12×12×3.14=(400−144)×3.14=803.84(平方cm)と求まります。
 このように、回転の中心と回転する図形の位置関係によって求め方が異なります。十分注意して解くようにしましょう。

《4年 第9回組分けテスト(下巻第19回)》

【第3位 第11回から第14回までの復習】

点数にして約3割を占めます。もう一度基本事項を確認して「簡単な問題なのにやり方を忘れていて解けなかった」という事が無いようにしましょう。特に確認したいものは以下の通りです。

  • 第11回 分数のかけ算・わり算
  • 第12回 消去算(代入法) 3量の消去算
  • 第13回 割合の3用法
  • 第14回 樹形図の利用
【第2位 場合の数:並べ方と選び方の違いは区別できていますか?】

予習シリーズ4年下第14回で学習した並べ方(順列)と4年下第18回で学習した選び方(組み合わせ)はどちらも今回の組分けの範囲です。考え方が混ざらないように注意が必要です。  両方の考え方を使う問題で確認してみましょう。

「0、1、2、3、4、5の6枚のカードがあります。この中から3枚のカードを取り出して3けたの整数を作るとき、3の倍数は何通り作れますか。」

この問題で樹形図を使って3けたの整数を作り、それを3で割れるのか確かめているとものすごく時間がかかります。そこで次のように2段階に分けて考えていきます。

  1. 3つの数字の和が3の倍数になる組み合わせを調べる。
  2. (1)で調べた組み合わせのそれぞれについて、カードの並べ方が何通りあるかを調べる。

まず(1)から考えます。和で分けて考えると調べ易いです。

 
  • 和が3のとき、(0、1、2)…(ア)
  •  
  • 和が6のとき、(0、1、5)…(イ)、(0、2、4)…(ウ)、(1、2、3)…(エ)
  •  
  • 和が9のとき、(0、4、5)…(オ)、(1、3、5)…(カ)、(2、3、4)…(キ)
  •  
  • 和が12のとき、(3、4、5)…(ク)
 

次に(2)を考えます。 (ア)は百の位に0が使えないことに注意して並べると、102、120、201、210の4通りあります。0が入っている組み合わせの(イ)、(ウ)、(オ)も同じく4通りずつあります。(エ)は、123、132、213、231、312、321の6通りあり、(カ)、(キ)、(ク)も同じく6通りずつあります。このことから、4×4+6×4=40(通り)と求まります。
 組み合わせを調べてそれを並べるという考え方は、場合の数の調べるときにとても有効な考え方です。練習を繰り返して確実に身につけておきましょう。

【第1位 速さ:複雑に見える問題を線分図で内容整理する練習はできていますか?】

次の問題を考えてみましょう。

「太郎君は毎朝8時に家を出て、1.8km離れた学校まで毎分60mで歩いて通っています。ある日、太郎君はいつもと同じ時刻に家を出ましたが、家から240mのところにある本屋の前で忘れ物に気づいたので、毎分120mの速さで走って家に戻りました。忘れ物を探すのに何分かかかり、戻ってきたときの速さと同じ速さで学校に向かったところ、いつもより2分遅く学校につきました。忘れ物を探していた時間は何分間ですか。」

線分図に整理しながら考えましょう。線分図に「家」「本屋」「学校」とわかっている道のりと時間を書き込みます。
 まず毎朝学校に着く時間を求めます。1800÷60=30(分)かかることがわかったので、線分図の学校のところに8:30と書き込みます。
 次に「ある日」の動きを追っていきます。本屋までは240÷60=4(分)かかるので、線分図の下に家から本屋まで矢印をひき、本屋のところに8:04と書き込みます。ここから家に戻るのに240÷120=2(分)かかるので、本屋から家まで2本目の矢印をひき家のところに8:06と書き込みます。忘れ物を探し終わって家から学校に行くので家から学校まで3本目の矢印をひき、学校のところに8:32と書き込みます。これはいつもより2分遅れているためです。家から学校まで走ると1800÷120=15(分)かかるので、家を出たのは32−15=17(分)とわかります。したがって、忘れ物を探していた時間は17−6=11(分間)と求まります。
 今までの単元と比べると文章が長く条件も多いです。線分図に整理しながら解くと、自分の頭の中だけで考えるよりもはるかに状況が分かり易くなります。ミスの防止にも役立ちますので線分図を活用してみてください。

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