2018.9.25配信
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四谷大塚・早稲田アカデミー4･5年生 予習シリーズ算数下 第5回・第6回攻略ポイント
＜算数 5年下 第5回 ＞
第5回は『総合（第1回〜第4回）』です。基本問題は、以前にお話しした基本ポイントの確認になります。正解とならなかった問題は、各回の該当の内容にもどって解き直しをしましょう。
【攻略ポイント１】
「基本問題第1回［比(1)］3」は、倍数算です。このタイプの問題は、設問(1)の解き方のような、工夫ができるかどうかが重要になります。なお、分数は、分子/分母の形で表します。
- 妹が700円使わなかったとすると、妹の残りのお金は700円多くなっていることになります。700＋200＝900より、姉と妹の残ったお金の差は、900円です。
- 姉は持っているお金の3/4を使いましたので、残りのお金は、はじめにあったお金を8とすると、8×(1−3/4)＝2となります。よって、残ったお金の比は(妹は使っていないとして)、2：5で、差が900円です。900÷(5−2)×8＝2400より、はじめの姉の持っていたお金は2400円です。
「基本問題第2回［比(2)］2」は、逆比を考えた文章題です。
水族館の入館料を、大人1人A円、子ども1人B円とすると、本文「大人3人分と子ども5人分が等しい」より、A×3＝B×5の関係が成り立ちます。
- 上の関係から、逆比を求めて、A：B＝1/3：1/5＝5：3より、大人1人とこども1人の入館料の比は、5：3です。
- 大人1人の入館料を5、子ども1人の入館料を3として、大人2人と子ども3人の入館料の合計を計算すると、5×2＋3×3＝19となります。実際金額は、3000−340＝2660円ですから、2660÷19＝140円が比の1つ分となります。よって、140×3＝420より、子ども1人の入館料は、420円です。
【攻略ポイント２】
「基本問題第3回［平面図形と比(1)］2」は、平行線の間にある図形(三角形、平行四辺形、台形)の面積と辺の長さの関係を考える問題です。平行線の間の長さは、どこでも等しいことから、間にある図形の高さはすべて等しいことを利用します。
- 高さの等しい三角形アと台形ウの面積比が2：3ですから、三角形アの底辺と台形ウの(上底＋下底)の長さの比も2：3です。よって、2：3＝x：(3＋9)となりますので、この比例式を解いて、x＝2×12÷3＝8より、x＝8cmです。
- 平行四辺形イは、対角線によって、面積の等しい2つの三角形に分かれますので、底辺5cmの三角形2つ分の面積と考えることができます。よって、三角形アと平行四辺形イの面積比は、三角形アの底辺と平行四辺形の底辺2つ分の長さの比と同じになります。つまり、三角形アと平行四辺形イの面積比は、8：(5×2)＝4：5です。よって、三角形アの面積を□平方cmとして、4：5＝□：35となりますので、この比例式を解いて、□＝4×35÷5＝28より、三角形アの面積は28平方cmです。
「基本問題第4回［平面図形と比(2)］3」は、何組かの相似な三角形の入った図形について考える問題です。
ABとPQとCDが平行ですから、三角形ABDと三角形PQD、三角形BCDと三角形BPQ、三角形ABPと三角形DCPは、それぞれ相似な三角形です。この3組の相似の中から、質問に合う相似を選択して、問題を解いていきます。
- 辺APと辺PDを使った、相似な三角形は、三角形ABPと三角形DCPです。相似な三角形では、相似比(＝対応する辺の長さの比)はどこも等しいですから、AP：PD＝AB：DC＝10：15＝2：3となります。よって、AP：PD＝2：3です。
- 辺PQを使った三角形は、三角形BPQあるいは三角形PQDがあります。ここでは、三角形PQDに注目します。三角形ABDと三角形PQDが相似な三角形ですから、AB：PQ＝AD：PDです。(1)のAP：PD＝2：3より、AD：PD＝(2＋3)：3＝5：3となりますので、AB：PQ＝AD：PD＝5：3とわかります。よって、AD＝10cmより、5：3＝10：PQとなります。この比例式を解いて、PQ＝3×10÷5＝6より、PQ＝6cmです。
総合回をよい機会として、弱点を無くしていきましょう。
＜算数 5年下 第6回 ＞
第6回は『速さと比(1)』です。速さの基本公式 [速度×時間＝距離] において、速度・時間・距離の3要素のうち、どれか１つが一定ならば他の2つは比例か反比例になります。
整頓しておきます。
- (ア)速度が一定のときは、時間と距離は比例します（時間比と距離比は等しくなります）。
- (イ)時間が一定のときは、速度と距離は比例します（速度比と距離比は等しくなります）。
- (ウ)距離が一定のときは、速度と時間は反比例します（速度比と時間比は逆比になります）。
このことを使って、速さと比の問題を解いていきます。なお、メルマガでは分数は、分子/分母の形で表します。
【攻略ポイント1】
「必修例題1」は、速度が一定の問題です。
AB間の距離16kmとBC間の距離12kmが与えられています。速度が一定ですから、距離比＝時間比となります。距離比がAB：BC＝16：12＝4：3より、時間比もAB：BC＝4：3となります。AB間を36分で進みましたので、36÷4×(4＋3)＝63より、太郎君がC地に着くのは、63分後、つまり、1時間3分後です。
「必修例題2」は、時間が一定の問題です。
- 姉が100mを走った時間で、姉はもちろん100m進み、そのとき、妹は100−20＝80m進んでいます。時間が一定ですから、速度比＝距離比となります。よって、100：80＝5：4より、姉と妹の走る速さの比は、5：4です。
- 妹が100mを走る時間で、距離比は、姉：妹＝5：4ですから、100÷4×5＝125より、姉は125mを走れば、妹と同時にゴールすることになります。よって、125−100＝25より、姉のスタート地点を、25m後ろに下げればよいことになります。
「必修例題3」は、（家から駅までの）距離が変わらない（一定の）問題です。
毎分90mの速さで歩くとき(ア)と、毎分60mの速さで歩くとき(イ)を考えますと、家から駅まで一定の距離を進むのにかかる時間の比は、速度比の逆比になります。よって、時間比は、ア：イ＝1/90：1/60＝2：3になります。この時間について、電車の発車時刻の7分前と3分後では、7＋3＝10分の差となります。時間比ア：イ＝2：3の差が10分ですから、10÷(3−2)×2＝20より、アの速さで歩くときにかかる時間は20分です。よって、9時に家を出て、駅まで20分かかり、駅に着いた時刻の7分後が電車の発車時刻になりますので、9時＋20分＋7分＝9時27分が、電車の発車時刻とわかります。
「必修例題4」も、（登山口から山頂までの）距離が一定の問題です。
上りと下りの速度比は、1：1.5＝2：3です。距離が一定ですから、速度比と時間比は逆比となりますので、上りと下りの時間比は、1/2：1/3＝3：2となります。山頂で50分休みましたので、上りと下りにかかった時間の合計は、11時20分−7時−50分＝3時間30分＝210分です。よって、210÷(3＋2)×2＝84より、下りにかかった時間は84分＝1時間24分です。登山口到着の1時間24分前に山頂を出発したことになりますので、11時20分−1時間24分＝9時56分より、山頂を出発した時刻は9時56分です。時刻のひき算にも十分に注意しましょう。
【攻略ポイント2】
問題文より、速度・時間・距離の3要素のうちの、何が一定かを読み取り、残りの2要素の関係が、比例か反比例かを考えて問題を解きます。
「必修例題5」は、距離の比と速度（比を利用してもよい）を使って時間比を求める問題です。このように、距離比÷速度比＝時間比など、比の積や商を考える問題も重要です。
- 歩いた距離と走った距離の比は、歩き：走り＝2/3：(1−2/3)＝2：1です。時間（比）＝距離（比）÷速度（比）ですから、時間比は、距離比の数を速度で割って求めます。2/60：1/150＝5：1より、歩いた時間と走った時間の比は、5：1です。
- 家から駅まで行くのにかかった時間は18分です。よって、18分を、5：1に比例配分し、走った時間を表す1を求めます。18÷(5＋1)×1＝3より、走った時間は3分となります。毎分150m×3分＝450mが、走った距離です。歩いた距離と走った距離の比が、歩き：走り＝2：1となることを利用して、450÷1×(2＋1)＝1350より、家から駅までの距離は、1350mです。
「必修例題6」は、距離一定の問題です。
家から図書館までの距離は一定です。このとき、速度比と時間比は、逆比になります。時間比は、歩き：走り＝45：20＝9：4ですので、速度比は、歩き：走り＝1/9：1/4＝4：9となります。歩きの速度を4として、時間は45分かかりますので、家から図書館までの距離を、4×45＝180とします。ここで、走る速度を9とし、歩く速度を4として合わせて30分で、180の距離を進むことを考えますと、つるかめ算を利用することができます。よって、(180−4×30)÷(9−4)＝12より、走る時間は12分です。
「必修例題7」は、比を利用して平均速度を求める問題です。
- 距離が一定ですから、速度比と時間比は逆比になります。時間比は、行き：帰り＝1/4：1/12＝3：1となります。行きの時速4kmに時間の3をかけて、距離を4×3＝12とします。平均速度＝距離合計÷時間合計ですから、12×2÷(3＋1)＝6より、平均速度は、時速6kmです。「平均だから(4＋12)÷2」とはなりませんので注意してください。
- AB間にかかる時間とBC間にかかる時間の比は、距離（比）÷速度（比）＝時間（比）の関係より、AB：BC＝2/36：3/90＝5：3です。よって、距離合計＝36×5＋90×3＝450で、時間合計＝5＋3＝8となりますので、450÷8＝56.25より、平均速度は、分速56.25mです。
必修例題6や7のように、比の積や商を利用した場合でも、一部に実際数量（速度の数値）を使っているときの計算であれば、結果として実際数量を求めることができます。
＜算数 4年下 第5回 ＞
第5回は『総合(第1回〜第4回)』です。基本問題は、以前にお話しした基本ポイントの確認になります。正解とならなかった問題は、各回の該当の内容にもどって解き直しをしましょう。
【攻略ポイント1】
「基本問題第1回［約数と公約数］3」は、約数の文章題です。
たて18cm、横25.2cmの長方形の紙を、同じ大きさのできるだけ大きな正方形に切り分けます。
- 切り分けられた正方形の1辺の長さを□cmとすると、18÷□＝○、25.2÷□＝△と、割り切れることになりますので、□は、18と25.2の公約数です。できるだけ大きな公約数を考えますので、最大公約数ということになります。ただし、公約数は整数の数の問題ですから、長さの単位をcmからmmに直して、整数にして考えることに注意してください。つまり、18cm＝180mm、25.2cm＝252mmにかえて、180と252の最大公約数を求めます。最大公約数は36です。よって、36mm＝3.6cmより、正方形の1辺の長さは、3.6cmです。
- Mmの単位で進めます。たては、180÷36＝5まい、横は、252÷36＝7まいに分けられますから、5×7＝35より、全部で35まいに切り分けられます。
「基本問題第2回［倍数と公倍数］3」は、倍数の文章題です。 1から200までの整数の中のいろいろな倍数を考えます。
- 4の倍数は、1から数えて、4つ目ごとにありますから、4つずつ組に分けると、各組に1個ずつあります。よって、4で割ることになります。200÷4＝50より、200までの整数の中に4の倍数は、50個あります。
- 4の倍数であり、6の倍数でもある整数は、4と6の公倍数です。公倍数は、最小公倍数の倍数になることに注目しましょう。よって、4と6の最小公倍数は12ですから、12の倍数が何個あるかを考えます。(1)と同様に、200を12で割ります。200÷12＝16あまり8より、200まで整数の中で、あてはまる整数は、16個あります。
- 4の倍数であり、6の倍数ではない整数とは、4の倍数のうち、4と6の公倍数はのぞいた数ということになります。よって、(1)の50個から、(2)の16個をのぞきます。50−16＝34より、200までの整数の中で、あてはまる整数は、34個あります。 解き方が曖昧になってしまっている場合は、予習シリーズ18ページの解説の図をよく見直しましょう。
【攻略ポイント2】
「基本問題第3回［条件整理と推理］2」は、覆面(ふくめん)算といわれる問題で、それぞれの文字にあてはまる数を求める問題です。 A×E＝A、C＋D＝Cの式に注目します。A×E＝Aより、E＝1とわかります。また、C＋D＝Cより、D＝0 とわかります。B×B＝Fより、2×2＝4、または、3×3＝9ですが、ここでは、9は使えませんので、B＝2、F＝4と決まります。ここまでで、D＝0、E＝1、B＝2、F＝4とわかりましたので、残りは3と5です。B＋E＝Aにおいて、2＋1＝3より、A＝3と決まりますから、C＝5となります。
【攻略ポイント3】
「基本問題第4回［円(1)］3」は、円の内部に正五角形と正方形の入った図形で、角度を求める問題です。
まず、正五角形の1つの内角の角度を求めます。予習シリーズ34ページ応用例題1の解き方を参照してください。円の中心をOとして、正五角形のそれぞれの頂点と円の中心Oを結びますと、5つの二等辺三角形ができます。二等辺三角形の角のうち、円の中心にできる角は、360÷5＝72°です。よって、角OCB＝(180−72)÷2＝54°で、角OCDも同じく54°です。したがって、正五角形の内角1つ角BCDの大きさは54×2＝108°となります。
- 角BCG＝角BCD−角GCDですから、108−90＝18より、角BCG＝18°です。
- 正五角形と正方形の1辺の長さは、等しいので、DE＝DFより、三角形DEFは二等辺三角形です。角EDFは、(1)と同様に18°となっていますので、角DEF＝(180−18)÷2＝81°になります。角AEF＝角AED−角DEFで、角AEDは、正五角形の内角の1つですから、108−81＝27より、角AEF＝27°です。
総合回をよい機会として、弱点を無くしていきましょう。
＜算数 4年下 第6回 ＞
第6回は『分配算』です。分配算とは、2つや3つの量の間で、１つの量の○倍，△倍という関係と、合計（和）や差が与えられている場合に、それぞれの実際数量を求める問題です。線分図を書いて、関係を目に見える形にすることが大切になります。予習シリーズのそれぞれの解き方にある線分図を参照してください。
なお、文字化けする可能性がありますので、○に数字を入れた表示は、マル1、マル2などのように表します。
【攻略ポイント1】
「必修例題1」は、和がわかっている問題です。予習シリーズ45ページの解き方にある線分図を参照してください。
- 赤い金魚が白い金魚の3倍いて、合わせて20匹います。白い金魚の数をマル1（もとにする量と考える）とすると、赤い金魚は3倍のマル3となります。合計でマル4が、20匹ですので、20÷4＝5より、マル1、つまり白い金魚は、5匹です。
- 妹の出したお金をマル1とすると、姉の出したお金は、妹の2倍であるマル2より80円多くなり、マル2＋80円と表されます。2人の出したお金の合計は、マル3＋80円で、これが500円ということになります。500−80＝420円がマル3ですから、420÷3＝140より、マル1、つまり妹の出したお金は140円です。
線分図で表すと、マルの数字は、線上の目盛りと考えればよいことになります。
「必修例題2」は、父と子の年令の差が与えられた問題です。予習シリーズ46ページの解き方にある線分図を参照してください。
子の年令をマル1とすると、父の年令はマル4と表すことができます。差のマル3が、2人の年令の差の24才です。24÷3＝8より、マル1は8才です。よって、8×4＝32より、父の年令は32才とわかります。
【攻略ポイント2】
「必修例題3」は、兄と弟の持っているお金から同じ金額ずつ減った場合の問題です。予習シリーズ46ページの解き方にある線分図を参照してください。
同じ数量が増えたり、減ったりする場合には、もともとの量の差は変わらないことに注目します。
兄の800円と弟の350円の差は、2人が同じ金額を出し合ったあとも変わりません。弟の残りの金額をマル1とすると、兄の残りの金額はマル4と表すことができ、その差であるマル3は、もともとの金額の差を表しています。(800−350)÷(4−1)＝150より、マル1、つまり弟の残りの金額は150円です。弟ははじめに350円もっていましたから、350−150＝200円をプレゼントの代金として出したことになります。2人が同じ金額を出しましたので、200×2＝400より、プレゼントの代金は、400円です。最後に、数値を2倍することを忘れないようにしてください。
【攻略ポイント3】
3つの量についての分配算を学習します。基本的には、2つの量と同様ですが、倍の関係や、増加分・減少分が加わって、複雑になります。やはり、線分図に整頓することを心がけましょう。
「必修例題4」は、三角形の角度を考えた分配算の問題です。予習シリーズ47ページの解き方にある線分図を参照してください。
角Aの大きさをマル1とすると、角Bの大きさはマル2と表すことができます。また、角Cの大きさは、角Bの大きさより20度小さいので、マル2−20度と表すことができます。ここで、問題文には出ていない条件である、三角形の内角の和は180度であることを使います。角A、B、Cの大きさの合計は、マル1＋マル2＋マル2−20度＝マル5−20度となり、これが180度です。よって、(180＋20)÷5＝40より、マル1、つまり角Aの大きさは40度です。
「必修例題5」は、やりとり算といわれる問題で、ここでは、3人の間でカードのやりとりを行います。やりとりがあっても、3人の持っているカードの合計まい数は、いつも変わらないことに注目します。
はじめにカードは合計48まいありましたが、やりとり後に持っているまい数は、3人とも等しくなりましたので、ひとり分は、48÷3＝16まいずつです。はじめにBが持っているカードのまい数を□まいとします。BはAから5まいもらい、Cに12まいわたして、結果として16まいになっています。式に整頓すると、□＋5−12＝16となります。よって、□＝16＋12−5＝23より、はじめにBが持っていたカードは23まいです。
分配算では、線分図に整頓することが大切です。複雑な線分図もかけるように、やさしい内容のときに、トレーニングしておきましょう。
われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に１００％合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。
