2018.7.3配信
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四谷大塚・早稲田アカデミー4･5年生 予習シリーズ算数上 第20回攻略ポイント
＜算数 5年上 第20回 ＞
第20回は『総合(第16回〜第19回)』です。速さに関する問題と水そうの問題の復習です。
【攻略ポイント1】
「基本問題第16回3」は、速さのつるかめ算の問題です。
条件を整頓します。なお、分数は、分子/分母の形で、また、帯分数は、整数・分子/分母の形で表します。
13時に出発して、4km/時(＝時速4km)の速さでa時間（速度を表す単位が時速ですから、時間を表す単位を時間にします）歩き、5/60時間(＝5分)休んでから、3km/時の速さでb時間歩きました。このとき、距離の合計は5kmになり、時間は休んだ5分を除いて、(14時30分−13時−5分＝)1時間25分＝1・25/60＝1・5/12時間かかりました。式にすると、4×a＝P km、3×b＝Q kmと、かけ算の関係が2つできて、P＋Q＝5km（積＝かけ算の答えの和）と、a＋b＝1・5/12時間（かける数の和）が与えられていますので、この問題は、つるかめ算です。
- 休む前の歩いていた時間を求めます。つるかめ算を使って、すべての距離を3km/時の速さで(1・5/12)時間歩くとします。3×1・5/12＝17/4kmになります。実際の5kmとの差は、4km/時の速さで歩いた部分があったからですので、(5−17/4)÷(4−3)＝3/4より、3/4時間＝45分が、4km/時の速さで歩いた時間です。よって、休んだ5分を加えて、13時＋45分＋5分＝13時50分が、再び歩き始めた時刻になります。
最後に何を求めるのかに注意しましょう。この問題であれば、45分を問題の答えにしないように気をつけてください。 - 休んだ地点は、4km/時の速さで3/4時間歩いた地点です。4×3/4＝3より、家から3kmのところです。
【攻略ポイント2】
「基本問題第17回3」は、水そうの問題です。容器の形から、水の体積＝底面積×深さ の計算と、水の入れ方から、水の体積＝毎分○L×□分 の計算を組み合わせて考えます。
- グラフより、(Aの部分とBの部分ともに) 水そうの仕切りの高さ32cmまで、16分で水がたまることがわかります。容器の形と水の入れ方から、40×80×32＝○L×16分 という関係になります。よって、○＝40×80×32÷16＝6400立方cmより、毎分6.4Lの割合で水を入れました。40×80×32の計算を先にしてしまわないで、最後に16で割るところまでまとめてすることに注意しましょう。そのうえで、分数の約分を利用すると、計算が早く確実にできます。
- 水そうのAの部分に、仕切りの高さ32cmまで水が入るのは、グラフより7分とわかります。よって、40×X×32＝6400×7 という関係になりますので、X＝6400×7÷(40×32)＝35より、Xは35cmです。
【攻略ポイント3】
「基本問題第18回3」は、旅人算とグラフ(ダイヤグラム)の問題です。ダイヤグラムでは、グラフの直線を使った直角三角形に注目して考えます。
まず、兄と弟の速さを求めます。兄は、家と駅の間を12分で往復することから、片道にかかった時間は6分ですので、900mの距離を6分で進みます。よって、兄の速度は、900÷6＝150m/分です。また、弟は、900mを18分で進みます。弟の速度は、900÷18＝50m/分です。グラフのa、bは、駅からもどってくる兄と、駅に向かう弟が出会ったところの、時間がa、家からの距離がbです。
兄と弟の進んだ距離の合計は、家から駅までの距離の往復分である、900×2＝1800mになっています。ダイヤグラムでわかりづらい場合は、2人の動きを線で表した状況図を自分でかいてみてもよいでしょう。進んだ距離の和を考えますので、速度も和を使います。1800÷(150＋50)＝9より、aは9(分)です。
また、弟が9分で進んだ距離がbですから、50×9＝450より、bは450(m)です。
「基本問題第19回3」は、前問と同様、旅人算とグラフ(ダイヤグラム)の問題です。
はなれたA地点とB地点から、兄と弟が向かい合って往復する問題です。
aは、AB間の距離を表しています。兄と弟は、向かい合って同時に出発してから15分で出会いますので、(90＋60)×15＝2250より、aは2250(m)です。
bは、兄と弟が2回目に出会った時間を表しています。第19回の必修例題4（予習シリーズ178ページ）で学習しましたように、1回目から2回目の出会いにかかる時間は、1回目の出会いにかかる時間の3倍の時間です。よって、15×3＝45より、bは45(分)です。
cは、2回目に出会った場所がA地点から何mはなれているかを表しています。B地点から出発した弟は、45分でAB間の2250mとcの合計の距離を進みます。60×45＝2700mですから、2700−2250＝450より、cは450(m)です。
今回の総合は、中学入試においてもよく出題される内容です。特にグラフの読み方が重要になっていますので、グラフ問題を中心に取り上げました。しっかり身につけてください。
＜算数 4年上 第20回 ＞
第20回は『総合(第16回〜第19回)』です。等差数列、つるかめ算、四角形や三角形の面積について復習します。
【攻略ポイント1】
「基本問題第16回3」は、ご石を並べた問題です。 問題にある図において、ご石のならべ方から規則を見つけます。1番目は3個、2番目は5個、3番目は7個、となっています。4番目にはどのようになるか考えると、はじめの個数が3個で、2個ずつ増えていく等差数列であることが見つかります。
- 1番目から7番目まで、2個ずつ増えていく間が7−1＝6か所ありますので、3＋2×6＝15より、7番目にならぶご石の個数は、15個です。
- この数列にでてくる個数は、すべて奇数(2でわって1あまる数)ですから、30個をこえて、31個になるときを考えます。□番目の個数が31になる式を作りますと、3＋2×(□−1)＝30となります。逆算すると、□−1＝(31−3)÷2＝28÷2＝14ですから、□＝14＋1＝15より、ご石の数がはじめて30個をこえるのは、15番目です。
- 10個目の図形では、3＋2×(10−1)＝21個のご石を使いますので、1番目から順に、使われているご石は、3＋5＋7＋…＋17＋19＋21の合計の個数です。等差数列の和の公式より、(3＋21)×10÷2＝120より、ご石は、120個必要です。
【攻略ポイント2】
「基本問題第17回3」は、弁償算といわれる、つるかめ算の応用問題です。
的に当たると10点得点し、はずれると4点ひかれるゲームです。
- 30回のうち、21回的に当ったので、10×21＝210点得点します。ところが、(30−21＝)9回はずれていますので、4×9＝36点ひかれます。よって、210−36＝174より、得点は174点です。
- 50回すべて的に当たると、10×50＝500点の得点になります。しかし、1回はずれがあると、10点の得点が減り、その上で4点ひかれますから、10＋4＝14点減ることになります。実際の得点は374点ですから、500−374＝126点減ったことになりますので、126÷14＝9より、9回はずれたとわかります。よって、50−9＝41より、的に当たったのは、41回です。
【攻略ポイント3】
「基本問題第18回3」は、四角形の面積の応用問題です。
長方形から2つの正方形をとりのぞいた図形の問題です。
- 問題の図形で、直線ABで2等分された2つの部分のうち、左の部分の面積を求めて、2倍することにより、図形全体の面積を求めます。1辺3cmの正方形を切り取りましたが、切り取る前は台形になっています。この台形の、上底の長さは3＋3＝6cm、下底の長さは4cm、高さは3＋5＝8cmです。よって、台形の面積は、(6＋4)×8÷2＝40平方cmです。また、切り取った正方形の面積は、3×3＝9平方cmですから、左の部分の面積は、40−9＝31平方cmですので、31×2＝62より、この図形全体の面積は、62平方cmです。
- 2つの正方形を切り取る前の長方形を考えます。62平方cmに、9平方cmと、7×7＝49平方cmの2つの正方形を加えて、62＋9＋49＝120平方cmが、長方形の面積です。この長方形のたての長さは、8cmですから、横の長さは、120÷8＝15cmでした。4＋□＋7＝15ですので、15−(4＋7)＝4より、□は４cmです。与えられた長さだけでは解き進められない場合は、視点の切り替えが必要です。この問題で、2等分された部分の1つを活用したように、図形を見る視野を広く持つことを心がけましょう。
「基本問題第19回3」は、三角形の面積の応用問題です。
長方形ABCDと直角三角形EBAを組み合わせた図形の問題です。
- 三角形AFCにおいて、底辺をAF＝2cmとするときの高さは、底辺と高さは直角の関係にあることから、BC＝12cmが高さになります。よって、2×12÷2＝12より、三角形AFCの面積は、12平方cmです。
- 三角形ABCと三角形EBCは、底辺(BC)と高さ(AB)がどちらもそれぞれ同じ長さですので、面積も等しい三角形です。この2つの三角形から、共通部分の三角形FBCを引いた残りである、三角形AFCと三角形EFBの面積は等しくなっています。よって、三角形EFBの面積は(1)で求めた12平方cmで、FBを底辺としたときの高さはEA＝4cmです。よって、FB×4÷2＝12より、FB＝12×2÷4＝6です。よって、FBの長さは6cmです。
今回は、基本問題の中でも、少し難しい問題を取り上げました。基礎知識をどのように使って解いていくのかが、おわかりいただけましたでしょうか。
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