鉄人の一通入魂

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2018.5.31配信
絶対に役立つ中学受験専門プロ家庭教師からの必勝アドバイス!
四谷大塚・早稲田アカデミー 5年生6月10日(日)・4年生6月9日(土)組分けテスト算数攻略ポイント

《小5上巻第15回組分け》

【攻略ポイント1 出題範囲】

過去の四谷大塚の組分けテストでは第11回〜第14回の中から7割程度、それ以前の範囲(主に第6回〜第9回)の中から3割程度出題されています。復習の単元から点数にして約60点分出題されていますのでしっかりと見直しをしておきたいところです。
 目安として、第11回〜第14回は練習問題まで、第6回〜第9回は必修例題と基本問題(余裕があれば練習問題)の解き直しが出来れば十分でしょう。これにより、「簡単な問題なのに、やり方を忘れていて解けなかった」という失点を防ぎたいところです。

【攻略ポイント2 回転体】

回転体を考える上で大切なのは、図をかいてどのような立体になるかイメージを持つことです。テスト等では、問題にかいてある図に少し手を加えるだけで求めたい立体の形が出来上がります。次の問題で練習してみましょう。

AB=9cm、BC=8cm、CD=3cm、DA=10cmで角Bと角Cが直角になっている台形ABCDがあります。この台形ABCDを、辺ABを軸にして1回転してできる立体をP、辺CDを軸にして1回転してできる立体をQとします。このとき、PとQの体積の差は何立方cmですか。また、PとQの表面積の差は何平方cmですか。ただし、円周率は3.14とします。

では立体Pを作ってみましょう。まず台形ABCDをかきます。次に、辺ABが対称の軸になるように台形ABCDと線対称な台形を付け加えます。この時点で、辺の長さが頂点Aから時計まわりに10cm、3cm、16cm、3cm、10cmの五角形ができています。最後に頂点Cと頂点Dが移動した部分は円になりますので、円柱や円すいの底面の円に見えるように図に曲線をかきます。これで完成です。半径8cm、高さ3cmの円柱の上に、半径8cm、高さ6cm、母線10cmの円すいが乗っている立体になりました。
 体積は、8×8×3.14×3+8×8×3.14×6×1/3=(3+6×1/3)×8×8×3.14=320×3.14となり、表面積は、8×8×3.14+8×2×3.14×3+10×8×3.14=(8+2×3+10)×8×3.14=192×3.14となります。まだ計算が続くので3.14の計算はやってはいけません。
 同じように立体Qもやってみましょう。まず台形ABCDをかきます。次に辺CDが対称の軸になるように台形ABCDと線対称な台形を付け加えます。この時点で、辺の長さが頂点Dから時計まわりに10cm、9cm、16cm、9cm、10cmの一部へこんだ五角形ができています。最後に頂点Aと頂点Bが移動した部分は円になりますので、円柱や円すいの底面の円に見えるように図に曲線をかきます。これで完成です。半径8cm、高さ9cmの円柱から、半径8cm、高さ6cmの円すいをくり抜いた立体になりました。
 体積は、8×8×3.14×9−8×8×3.14×6×1/3=(9−6×1/3)×8×8×3.14=448×3.14となり、表面積は、8×8×3.14+8×2×3.14×9+10×8×3.14=(8+2×9+10)×8×3.14=288×3.14となります。
 したがって、体積の差は448×3.14−320×3.14=(448−320)×3.14=128×3.14=401.92(立方cm)、表面積の差は288×3.14−192×3.14=(288−192)×3.14=96×3.14=301.44(平方cm)と求まります。
 図のかき方が身に付けば得点源にもなります。頑張って練習しましょう。

【攻略ポイント3 場合の数(カードをならべる)】

0、1、2、3、4、5の6枚のカードがあります。この中から3枚のカードをならべて3けたの整数を作ります。偶数は何通りできますか。また、6の倍数は何通りできますか。

という問題を考えてみましょう。
 一の位が偶数なら、3けたの整数も偶数です。ここで百の位には0が使えないので次の3つの場合に分かれます。

  1. 一の位が0のとき
    百の位には0以外の5通り、十の位には百の位と一の位に使った数字以外の4通りが考えられるので、全部で5×4=20(通り)
  2. 一の位が2のとき
    百の位には2の他に0も使えません。したがって4通り。十の位には百の位と一の位に使った数字以外の4通りが考えられるので、全部で4×4=16(通り)
  3. 一の位が4のとき
    (2)と同じ場合の数になるので、16(通り)

よって、3けたの偶数は20+16+16=52(通り)と求まります。
 次は6の倍数を考えます。6=2×3なので、6の倍数は2の倍数であり、さらに3の倍数でもあることがわかります。つまり、「一の位が偶数で、さらに各位の数字の和が3の倍数である数」ということになります。手順ですが、まず3の倍数になることを確定させて、その3の倍数で偶数になるものを数えます。

  • 和が3のとき
    (0、1、2) … 120、210、102(一の位に使う数字を決めて調べています)の3通り
  • 和が6のとき
    (0、1、5) … 150、510の2通り
    (0、2、4) … 240、420、402、204の4通り
    (1、2、3) … 132、312の2通り
  • 和が9のとき
    (0、4、5) … 450、540、504の3通り
    (1、3、5) … 0通り
    (2、3、4) … 342、432、234、324の4通り
  • 和が12のとき
    (3、4、5) … 354、534の2通り

以上から、6の倍数は3+2+4+2+3+0+4+2=20(通り)と求まります。
このように倍数になるときの条件を整理して、手際よく調べられるように頑張りましょう。

【攻略ポイント4 場合の数(場所を選ぶ)】

予習シリーズ5年上第13回で組み合わせの公式を学習しました。ところがこの公式は「異なるN個のものから2個または3個を選ぶ」というもので、「同じもの」がある場合にはそのままでは使えません。そこで考え方を工夫する必要があります。次の問題を使って考えてみましょう。

黒い碁石が3個、白い碁石が5個あります。これらの碁石を1列にならべるならべ方は全部で何通りありますか。

この問題のポイントは、1列にならべるので「前から何番目の碁石」という考え方ができる点です。全部で碁石は8個あるので前から1番目の碁石、2番目の碁石、……、8番目の碁石と区別できるようになります。あとは前から何番目に黒い碁石をならべるかを考えます。碁石をならべる場所が8カ所あり、そのうちの3カ所を選んで黒い碁石をならべます。残りの場所は自動的に白い碁石になります。したがって、8×7×6÷(3×2×1)=56(通り)と求まります。
もう1問やってみましょう。

赤玉4個、白玉3個、黒玉2個の合計9個の玉があります。この9個の玉を1列にならべるならべ方は、全部で何通りありますか。

この問題も前の問題と同じように「前から何番目の玉」という考え方をします。まず、黒玉の場所を考えます。玉をならべる場所が9カ所あり、そのうち2カ所を選んで黒玉をならべます。よって、9×8÷(2×1)=36(通り)です。次に、白玉の場所を考えます。残った7カ所の場所から、3カ所を選び白玉をならべます。したがって、7×6×5÷(3×2×1)=35(通り)となります。赤玉は自動的に決まりますので全部で36×35=1260(通り)と求まります。
 これらの問題を樹形図で考えることもできますが、かなり大変な作業になります。この考え方は、カードをならべる問題でも同じ数字があるときに使える考え方です。応用できる範囲が広いので繰り返し練習して身につけておきたいですね。

【攻略ポイント5 素因数分解の応用】

次のように、1から順に整数を100までかけた積をAとします。
   A=1×2×3×4×……×99×100
このとき、Aは一の位から0が何個連続してならびますか。また、Aを12で割り続けるとき何回目で商が整数でなくなりますか。

という問題を考えてみましょう。
 例えば、3×10=30とか320×10=3200のようにある整数を10倍するとその整数の末尾に0が1つ増えます。このことから、10をかけた回数がわかれば答えが求まることがわかります。ここで注意しなければいけないのは、10=2×5なので素因数分解をして2と5が1組あれば10が作れるということです。実際に1×2×3×4×5=120となり「10」をかけてなくても「2と5を1組」かけていれば末尾に0が増えていることが確認できますね。
あとは素因数分解したときの「2の個数」と「5の個数」を調べます。「2」は偶数に必ず入っているので、少ない方の「5の個数」を調べます。100÷5=20、100÷(5×5)=4となりAは一の位から0が20+4=24(個)連続してならぶことがわかります。
 次にAを12で割り続けることを考えます。これも先程と同じく「12」で割らなくても、12=2×2×3なので「2で2回、3で1回」割れれば12で1回割ったことになります。
Aを素因数分解したときの2の個数を調べると、100÷2=50、100÷(2×2)=25、100÷(2×2×2)=12…4、100÷(2×2×2×2)=6…4、100÷(2×2×2×2×2)=3…4、100÷(2×2×2×2×2×2)=1…36となり、2の個数は50+25+12+6+3+1=97(個)とわかります。97÷2=48…1なので「2×2」が48組作れることがわかります。
3の個数も同様に調べます。100÷3=33…1、100÷(3×3)=11…1、100÷(3×3×3)=3…19、100÷(3×3×3×3)=1…19となり、3の個数は33+11+3+1=48(個)とわかります。したがって12で「割り切れる」回数は48回となりますが、今回は「割り切れなくなる」のは何回目かということなので、48+1=49(回目)と求まります。
 このように素数ではない数で割り続けるときは、素数で割り続けるときと比べて少し考え方が異なります。どちらも重要な考え方ですので整理して考えて間違えないようにしましょう。

《小4上巻第15回組分け》

【攻略ポイント1 出題範囲】

過去の四谷大塚の組分けテストでは第11回〜第14回の中から7割程度、それ以前の範囲(主に第6回〜第9回)の中から3割程度出題されています。復習の単元から点数にして約60点分出題されていますのでしっかりと見直しをしておきたいところです。
 目安として、第11回〜第14回は練習問題まで、第6回〜第9回は必修例題と基本問題(余裕があれば練習問題)の解き直しが出来れば十分でしょう。これにより、「簡単な問題なのに、やり方を忘れていて解けなかった」という失点を防ぎたいところです。

【攻略ポイント2 およその数】

およその数の問題では、問題文の指示からどの位を「切り捨て」「切り上げ」「四捨五入」するかを正確に読み取らなければなりません。そのことに注意しながら問題を解いてみましょう。

十の位を四捨五入すると1500になる整数Aと、十の位を四捨五入すると1000になる整数Bがあります。整数Aと整数Bの和は、いくつ以上いくつ以下ですか。また、整数Aと整数Bの差は、いくつ以上いくつ以下ですか。

 

まず、整数Aの範囲を考えます。十の位の数字が5以上なら切り上げて1500になるので最も小さい数は1450となります。十の位の数字が4以下なら切り捨てて1500になるので最も大きい数は1549となります。よって整数Aの範囲は1450以上1549以下と求まります。
 次に、整数Bの範囲を考えます。十の位の数字が5以上なら切り上げて1000になるので最も小さい数は950となります。十の位の数字を切り上げた結果、百の位も繰り上がっているので注意しましょう。十の位の数字が4以下なら切り捨てて1000になるので最も大きい数は1049となります。よって整数Bの範囲は950以上1049以下と求まります。
 これらのことから整数Aと整数Bの和は1450+950=2400以上、1549+1049=2598以下と求まります。また整数Aと整数Bの差は、整数Aの最も小さい数から整数Bの最も大きい数を引いた値と、整数Aの最も大きい数から整数Bの最も小さい数を引いた値の幅の中に含まれます。よって、1450−1049=401以上、1549−950=599以下と求まります。差を求めるときは範囲の組み合わせに注意しましょう。

【攻略ポイント3 三角形の性質】

「三角形の内角の和は180度」「二等辺三角形や正三角形の性質」「三角定規の三角形」「外角の定理」など、これから平面図形の分野を学習するにあたり重要な基本事項がたくさん登場しています。基本問題でもいいので、量をこなして確実にできるようにしましょう。
 「角BACが72度の三角形ABCがあります。角ABCの二等分線と、角ACBの二等分線の交点をDとするとき、角BDCは何度ですか。」 という問題を考えてみましょう。
 角度を二等分しているので、角ABD=角DBC=ア、角ACD=角DCB=イとすると、三角形ABCの内角の和は180度なので、ア×2+イ×2+72=180、ア×2+イ×2=180−72=108となり、ア×1+イ×1=108÷2=54となります。ここで、三角形DBCの内角の和も180度であることから、角BDC+ア+イ=180、角BDC=180−(ア+イ)=180−54=126(度)と求まります。
 この問題文の条件だけではアとイは求まりませんが、ア+イなら求められます。このように角度の和や差に注目して角度を求めるような応用問題でも、はじめに挙げたような基本事項が考え方の中心になっています。是非この機会に身につけましょう。

【攻略ポイント4 周期算】

周期算では「周期が何回繰り返していくつ余るのか」に注目して考えていきます。問題によって様々な周期や規則があるので、まずは問題文をしっかり読み周期や規則を見破れるようにしましょう。

{1、2、3}の3種類の数字を、あるきまりにしたがって、次のようにならべました。    1、3、2、3、1、2、1、3、2、3、1、2、1、3、2、3、……… このとき、100個目の「3」は左から何番目になりますか。また、左から順に 1+3+2+3+…… と加えていったとき、その和が100になるのは、何番目の数字まで加えたときですか。

という問題を考えてみましょう。
 はじめに周期を調べると、{1、3、2、3、1、2}の6個の数字で繰り返していることがわかります。この周期の中に「3」は2個ありますから100÷2=50となり、100個目の「3」は6×(50−1)+4=298(番目)と求まります。50周期目は2個目の「3」が出てきたら終了なので注意しましょう。
 次に和を考えます。1周期の和は 1+3+2+3+1+2=12なので、100÷12=8…4、4=1+3ですから、和が100になるのは6×8+2=50(番目)まで加えたときになります。
あまり4の「4」は、「4個」ではなく「和が4」という意味なのでミスに気をつけましょう。

【攻略ポイント5 立方体と直方体】

次の問題をやってみましょう。

同じ大きさの立方体の積み木を左右に2個、お互いのひとつの面どうしが接するようにならべて机の上に置きます。この積み木には1から6までの数が書かれていて、向かい合う面の数の和が7になっています。表に見えている数字の和が最も大きいとき、その和はいくつですか。また、最も小さいときその和はいくつですか。

まず、左側の積み木について考えてみます。数字が見えている面は正面から見て「前」「後」「上」「左」の4面です。「下」は机と接しているため見えません。「右」も右側の積み木と接しているので見えません。この4つの面の和が最大になるように考えます。「前」と「後」は必ず和が7になるので、「上」と「左」の2面が「5」と「6」になればよいことがわかります。右側の積み木も同様に考えて、(5+6+7)×2=36と求まります。
 和が最小になるときは、左側の積み木の「上」と「左」の2面が「1」と「2」になればよいので、(1+2+7)×2=20と求まります。
 数字が1つに決まらなくても「向かい合う面の数字の和が7になっている」という条件を上手く使うことがこのタイプの問題を解くための手筋になっています。

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