鉄人の一通入魂

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2018.2.22配信
絶対に役立つ中学受験専門プロ家庭教師からの必勝アドバイス!
予想問題付き!サピックス新5年生3月11日(日)組分けテスト算数攻略ポイント

今回は、新5年生の3月度組分けテスト対策をお伝えします。また、攻略ポイントだけでなく予想問題付きです。過去問を分析し最も出題される可能性が高い問題を揃えてあります。解説も準備しますので、間違えた箇所はとくに読み込んで本番で同じ間違いをしないように注意してください。問題は3/2(金)のお昼ごろ 鉄人会のHPにアップ致します。アップが完了しましたら、メルマガ、フェイスブック、ツイッターでもお知らせ致しますので、ぜひ鉄人会のフェイスブック、ツイッターもフォローしてください!

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範囲が限定されない実力テストであり、何に気をつけて見直しをすればよいのかの判断が難しいところかと思われます。そこで、今だからこそおさえておくべきポイント、これからの算数対策の礎にもなる内容をお伝えして行きます。
 大事な5年生カリキュラムをよいかたちでスタートできますように、ぜひ対策のポイントとしてください。

【攻略ポイント1 テストの見直しに十分な時間を】

今回のテスト対策では、これまでに演習してきた内容の見直しが軸となりますが、その見直しには十分な時間を用意してください。4年生で習った単元のうち、苦手と思われるところについては、重点的に時間をかけるようにしましょう。特に4年生の後半で演習した図形については、苦手な単元とならないように、基本からしっかり見直しをしておくようにしてください。

【攻略ポイント2 自分の誤答傾向を把握する】

お子さんがこれまで受けてきたテストを見直してみると、お子さんの誤答傾向が見えてきます。その傾向をしっかり把握して、重点的に同じ内容の問題演習を繰り返しましょう。例えば、計算の順番を間違えてはいないでしょうか。204−13×9+52のような四則が混ざった問題で、確かな順番で計算を進められているかどうか、あるいは6÷○=2の○を求める際に、すぐに6÷2の式が立てられるかどうか、など。たかが計算とあなどることはできません。こうした問題で間違える傾向があるときには、少しでも早く対処する必要があります。

また、文章題で式の答えまでは正解できているのに、解答に違う値を書いてしまうといった傾向が見られることもあります。今のうちに見直しの習慣をつけておけば、より速く解決できる問題です。これをそのまま放っておいてしまうと、大事な5年生のカリキュラムの習得にも支障をきたすことになります。  テストの結果を、点数や偏差値だけに注目するのではなく、なぜ間違えたのかに主眼を置いて、テストが最良のテキストとなるように活用してください。

【攻略ポイント3 解く問題の選び方に気をつける】

 

制限時間内に正解できる問題を少しでも増やすためにも、どの問題を解くべきかの判断には気をつけましょう。問題の順番がより後の方が難しい、という考え方にとらわれてしまうと、解ける問題も解けなくなってしまうことがあります。  最終問題でも、最初の(1)は意外に簡単に解ける問題であることが決して少なくないのです。しっかり問題の文章を読んで内容を理解さえすれば、(1)は簡単に解けるように構成された問題が出されることがあります。  逆に、テストの前半にあるような、一行問題の中にも難しい問題、解答に思いのほか時間がかかってしまう問題が含まれていることが十分に起こり得ます。  これは実際の入試問題でもよく見られることで、例えば男子最難関校のひとつ、開成中の入試問題では、一見解きやすそうな第1問の一行問題の中に、極めて難しい問題が含まれることがあります。開成中に限らず、中学校側は、柔軟に問題に対応できる力も求めているのです。  テストの前半にある問題でも、解いてみたところ難しい、時間がかかるものと判断できた際には、その問題は抜かして先へ進み、できるだけ後半の問題の(1)だけはチャレンジしてみる、といった方針で、テストに臨むことも大事になります。

【攻略ポイント4 暗記ではなく意味の理解を】

算数のテストの得点を上げるために、とにかく覚えて解こうという判断をしてしまうことが多く見られます。覚えるべき内容も確かにありますが、意味を理解しないままに覚える作業を続けてしまうと、学年が上がった時に、難しい問題に対応できなくなってしまう危険性があります。ただ暗記するのではなく、意味をしっかり理解したうえで解き方を覚えるようにしましょう。

例えば、速さの単元で、「時速3kmで歩くより、秒速1mで歩いた方が1分間で何m多く進みますか」といった問題。決して難しい問題ではありませんが、ここで時速km→分速mにするには、1000倍して60で割る、という計算をただ覚えるのではなく、なぜそうなるのかの意味の理解を、今のうちに確かにしておいて頂きたいのです。時速○kmは、「1時間に○kmの距離を進む」ということ、分速□mは「1分間に□mの距離を進む」ということの意味を確かにしておくようにしてください。この問題であれば、「時速3kmは1時間に3kmの距離を進む」→「60分間に3000mの距離を進む」、よって1分間に50mの距離を進むということになります。一方で「秒速1mは1秒間に1mの距離を進む」→「60秒間に60mの距離を進む」、よって1分間に60mの距離を進む、ということになり、答えが60−50=10(m)と導き出せます。

どこか遠回りな印象を持たれるかもしれませんが、速さの意味を理解して、上記の流れをしっかり把握しているのであれば、時速km→分速mの換算を式として覚えても問題はありません。ただ、理解がないままに式を覚えてしまうと、これから後に出てくる速さの応用、例えば旅人算などで、つまずいてしまうことが起こり得るのです。
 旅人算では、速さの異なる二者や三者が同時に動くことが題材となります。二者が向い合って進むのであれば、二者の速さの「和」を使って解き進め、二者が同じ方向に進むのであれば、二者の速さの「差」を使います。この和と差の使い方を理解する時に、上記のような速さの意味が理解されていないと、結果的に多くの時間を費やさなくてはならなくなります。逆に意味さえ理解できていれば、なぜ和を使うのか、といった意味がとてもスムーズに理解できるようになります。
 旅人算はまだ先の単元ではありますが、入試でも最重要単元のひとつです。先を見据えて今からしっかり意味の理解を進めるようにしてください。

意味の理解が必要なのは、速さの単元だけではありません。例えば次のような問題があります。
「一の位を四捨五入すると60になる整数をすべて加えるといくつになりますか」
 四捨五入は苦手とされるお子さんが多い単元のひとつです。それだけにお子さんもできるだけ覚えて対処してしまおうとすることがよく見られます。「0になるのは5から4」と機械的に覚えてしまってはいないでしょうか。四捨五入の意味を理解したうえで覚えるのは問題ありませんが、あやふやなままに覚えてしまうと、65から74、や54から65のようなミスが起こらないとは言えません。まず四捨五入がどのようなものなのか、例えば「12を一の位で四捨五入するといくつになるか」といった、わかりやすい例題から入ってもよいでしょう。あるいは、上記の問題でお子さんが65といった数値を挙げたとして、ただそれが間違い、で終わらせるのではなく、では65を一の位で四捨五入してみよう、といった段階を踏んでみてください。そこで65→70となれば、お子さんにも気づきが生まれます。間違いをただ間違いで終わらせず、それを気づきとして今後に生かすのは、これからの演習でも大事になってきますので、ぜひ実践してください。

上記の問題の解答ですが、あてはまる数が55から64の10個の整数になります。その和を求めるので、55+56+…+63+64となります。ここでは等間隔でならぶ数(等差数列)の和の公式を使えるかどうかの確認をしておきましょう。(55+64)×10÷2=595が答えとなります。

今の時期だからこそ、あえて時間をかけてでも意味の理解を尊重するようにしてください。そこでかけた時間は、これから先の算数対策に大きな意味を持つようになります。

【攻略ポイント5 図の有効活用】

これから問題の難度が上がることで、図をいかに有効に使うかが大事なポイントになって行きます。新5年生になる今の時期から図のかき方をしっかり身に付けておけば、問題への対応力が大きくアップして行きます。

例えば次のような問題があるとします。 「ア、イ、ウの3つの数の和は252で、アはイより19小さく、イはウより32大きいとき、アはいくつですか」
 これを頭の中だけで解こうとすると、数の大小関係を間違えて進んでしまうことが起こり得ます。特に、「19小さい」と「32大きい」のように、小さい、大きい、のどちらかに統一されていないと混乱してしまう、といったことが多く見られます。まずはしっかり線分図をかいて、内容を理解するようにしましょう。

この問題であれば、上からア、イ、ウを表す線分を3本かくことになります。3本の線分は起点をそろえて、まず、アを適当な長さでかきます。そこから19長くしたイの線分、イから32短くしたウの線分をそれぞれかきます。線分の長さの差はしっかり図にかき入れるようにしましょう。そして、3本の線分の長さの合計が252になることがわかるように数値を記入します。図はこれで完成です。
 こうしてでき上がった図を見ることで、ア、イ、ウの大小関係がわかります。ここからアの大きさを求めるのですが、3本の線分の長さをアにそろえようとすると、計算が複雑になります。そろえる値は、最も大きいものか、最も小さいものを選ぶようにしましょう。ここでは、最も大きいイにそろえることにします。アをイにそろえるために19を加え、ウをイにそろえるために32を加えますので、252+19+32が、イの3本分になります。(252+19+32)÷3=101より、イが101となり、最後に、101−19=82として、アの値が求められます。
 手間がかかるようですが、数の大小関係を正確に把握しなければ、得点できる問題もできなくなってしまいます。図をかくのに時間をかけ過ぎないように、内容がわかる範囲の丁寧さでかく練習をしましょう。

また、次のような問題ではどのように対応すればよいでしょうか。
「10円玉と50円玉が合わせて23まいあり、その合計金がくは830円です。50円玉は全部で何枚ありますか」
 つるかめ算の典型的な問題ですので、すぐに式を立てられるお子さんも多いかと思います。ただ、ここでもぜひ一度図をかいてみてください。基本的な問題だからこそ図がかきやすく、図をかく練習にもなります。

ここでは面積図をかいて問題を解いてみます。面積図は2つの要素をかけ合せると別の要素になるものを、長方形の面積に置き換えて図示化する方法です。この問題では、1つの長方形のたての長さを10円、横の長さを10円玉の枚数、もう1つの長方形のたての長さを50円、横の長さを50円玉の枚数として、2つの長方形が並ぶようにかきます。それぞれの長方形の面積が、たて×横=10(または50)×枚数で、それぞれの金がくの合計となります。そして、2つの長方形の面積の合計が合計金がくになります。
 この2つの長方形が並んだ図に、わかっている値を記入して行きます。10円玉と50円玉が合わせて23まいなので、横の長さの合計が23となり、合計金がくが830円なので、2つの面積の合計が830となります。ここから、50円玉のまい数を求めるのですが、そのまい数にあたるたて50円の長方形の横の長さを□まいとします。階段のような図形のうち、たて50円の長方形がたて10円の長方形の上に出ている部分に注目します。その部分の横の長さが□で、たての長さが50−10=40となることが確認できたでしょうか。
 全体の面積が830で、上に出ている部分の図形の面積が830−10×23=600となりますので、求める□が、600÷40=15と求められ、問題の答えを15枚と導き出せます。
 この流れを式にすると、(830−10×23)÷(50−10)となります。この式のかたちは、つるかめ算の基本形として、お子さんも塾で習ってきているかと思います。ただ、この式のかたちをただ覚えることだけに集中して、式の意味を正確に理解しないでいると、どのように数値を選べばよいのかがわからなくなるなどの現象が生じて、間違いのもとになってしまいます。まずは面積図をかいて、視覚的にも内容の理解を固めたうえで、式の理解へと進むとよいでしょう。
 面積図は、これからも食塩水の濃度などの割合の問題をはじめ、多くの局面で使うことになりますので、かき方を早めに確実に覚えるようにしてください。

慣れてくれば、すべての問題で線分図や面積図をかく必要はありませんが、その慣れたかどうかの判断はどうか慎重にするようにしてください。図をかく機会を少しでも多く持っていれば、初めて見るようなタイプの問題にあたった時にも、図をかくことで解答の糸口を自分で考える習慣が身につくようになります。はじめは少し面倒に感じるかもしれませんが、今だからこそ時間をかけて図をかく練習を積み重ねましょう。

【攻略ポイント6 図形の問題】

今回のテストでは平面図形、立体図形からの出題が予想されます。その中で平面図形からいくつかのポイントをお知らせします。得点できるかどうか、でテスト全体の点数に大きく影響する単元ですので、確実に理解を固めるようにしましょう。

まず、次のような問題を挙げてみます。メルマガで図は表現できませんので、図を実際にかいてみてください。
 ADとBCが平行な台形ABCD(頂点が時計と反対回りにA、B、C、D)で、ADの長さを9cm、BCの長さを21cmとします。角ADCと角BCDという向かい合った角度がどちらも90度で、角ABCを45度として、図は完成です。Bの部分がとがった靴のようなかたちになったでしょうか。問題は、「四角形ABCDの面積は何平方cmですか」となります。

台形の上底(9cm)と下底(21cm)がわかっていますので、あとは高さ(CDの長さ)がわかれば公式で解くことができます。ただ、図の段階ではCDの長さはわかっていません。ここで、角ABCの「45度」をヒントに使えるかどうかがポイントになります。
 45度という角度が、「45度−45度−90度」の、直角二等辺三角形を構成することに注意します。頂点Aから辺BCに垂線を下ろし、BCとの交点をEとします。この補助線で作られた三角形ABEが直角二等辺三角形になりますので、AE=BE=21−9=12(cm)となり、AEの長さとCDの長さが等しいことから、台形の高さが12cmと求められます。よって、求める面積は、(9+21)×12÷2=180(平方cm)となります。
 直角二等辺三角形を作ることに気づけば、難しくない問題ではありますが、45度だけのヒントから直角二等辺三角形に結びつくことができるかどうかが大きなポイントになります。
 45度だけでなく、正三角形を半分にした直角三角形を構成する「30度、60度」にも十分な注意が必要です。これらの角度が持つ意味がわかっていれば、有効な補助線をひくための準備ができることになります。普段から角度に注意して図形を見る習慣を持つようにしましょう。

次に、平面図形の折り曲げの問題に進みます。やはり図が表現できませんので、図を実際にかいてみてください。
 正三角形ABCを頂点Aが辺BCと重なるように折り返します。辺AB上にできる折り返し点をD、辺AC上にできる折り返し点をEとして、角AEC=62度になるとします。このとき、角ADBの大きさが何度になるかを求める問題です。
 平面図形の折り返しの問題は入試でも頻出で、色々な解法がありますが、ここでは角度の移動に注目します。
 三角形ADEは折り返す前と後で、もちろん同じ図形(合同)になります。この図形が同じになるという関係がわかりづらい時には、実際に正三角形を折り返してみるとよいでしょう。レポート用紙を切り取ってでも構いませんので、正三角形を実際に作って折り返してみて、同じ形の図形が移動していることを、お子さんに気づかせてみてください。
 まず、もとの頂点Aを(A)とします。三角形(A)DEと三角形ADEが合同ですので、角(A)DE=角ADE、角(A)ED=角AEDとなり、角CEA=62度であることから、角AED=(180−62)÷2=59(度)となります。角(A)DE=角ADE=180−(60+59)=61(度)となることから、角ADBの大きさが、180−61×2=58(度)と求められます。

この折り返しに限らず、視覚的な理解は記憶に強く残りますので、実際に図をつくって、動かしたり、曲げたりするといった作業を有効に活用してください。これも新5年生の今の時期であれば時間がありますので、実践しやすいかと思います。

平面図形の最後に、おうぎ形の問題を挙げてみます。まず半径が12cm、中心角の大きさが90度のおうぎ形(四分円とも呼びます)をかいてください。その中に、角度のひとつが中心角と重なり、その対角にある頂点が、おうぎ形の弧と重なるような正方形をかき入れます。おうぎ形の中に正方形がまるごと含まれるような形になります。おうぎ形の中で、正方形の上の部分にあたる図形を除いた面積は合計して何平方cmになるでしょうか、という問題です。
 ここでは2つのポイントに注目します。ポイントのひとつ目は、有効な補助線のひき方です。ここでは、おうぎ形の中心から、正方形の対角線となるような線をひきます。この線によって、求める面積の図形が、「直角二等辺三角形」と「おうぎ形」の組合せとなりました。おうぎ形の中心角は90÷2=45(度)ですので、おうぎ形の部分の面積は、12×12×3.14×45/360の式で求められます。
 もうひとつのポイントは、斜辺(直角の向いにある辺)の長さだけがわかっている直角二等辺三角形の面積の求め方です。この問題であれば、斜辺の長さがおうぎ形の半径と同じ、12cmとなります。ここで、もとの正方形(直角二等辺三角形2つ分)に注目してみましょう。正方形の面積の公式は「1辺の長さ×1辺の長さ」ですが、この問題ではその1辺の長さが与えられていません。そこで正方形の面積を対角線の長さから求める方法を確認します。そもそも、正方形はひし形の一つの角度を90度にすれば成り立つ形なので、ひし形の特殊形と言えます。よって、正方形の面積を求める際に、ひし形の面積の公式を使うことができるのです。このことはこれからの平面図形の問題で、とてもよく使われますので、よく覚えておいてください。
 この問題では正方形の対角線の長さが12cmですので、面積を12×12÷2で求めることができます。さらに直角二等辺三角形の面積はその半分となります。これで解答に行き着くための材料がそろいました。求める図形の面積は、12×12×3.14×45/360+12×12÷2÷2=56.52+36=92.52(平方cm)と求められます。
 図形の面積を求める際には、有効な補助線のひき方と、公式にとらわれない考え方が必要となることを確認しておきましょう。

【攻略ポイント7 その他の問題】

その他にも大事な問題がありますので、いくつかを挙げて行きます。

日数計算の問題です。
「6月9日の月曜日から、土曜日と日曜日をのぞいた平日に、1日3ページずつ問題集を解いていくと、6月30日にも3ページ解いて、ちょうど問題集を解き終わります。この問題集は全部で何ページありますか」
 長い問題文ですが、内容自体は難しいものではありません。ただ、日数の計算を間違えてしまいますと、それだけで失点につながりますので、その点に慎重さが必要となります。
 6月9日から6月30日までは、30−9+1=22(日)あります。6月9日を含みますので、最後に1を足すことを忘れないようにしてください。そこから土曜日と日曜日をのぞいて、あてはまる日にちを挙げて行きます。土曜日が14、21、28日、日曜日が、15、22、29日と、合計して6日ありますので、(22−6)×3=48より、答えは48ページとなります。
 日数の計算を苦手とされているお子さんは、まずは実際のカレンダーで日数を数えてみてもよいでしょう。そこで数え方を視覚的にも確認してから式に進むと、スムーズに理解ができる効果があります。

また、次のような規則性の問題はいかがでしょうか。先にもありましたが、分数の表記を、4分の1=1/4とします。
「ある規則にしたがって分数がならんでいます。
 1/50、2/49、3/48、4/47、5/46、…、49/2、50/1
 この中で、1/2と同じ大きさの分数は、左から数えて何番目ですか」
 分数の数列で、分数そのものを見るのではなく、分母と分子に分けて見た方が、解法が見つけやすくなる例のひとつです。この数列で、分子は1つずつ数が増えて、分母は1つずつ数が減ります。そのため、分母と分子の和が51で一定になっているのです。分数そのものだけを見てしまっては気づかない規則です。
 あとは、1/2と同じ大きさであることから、求める分数をA/(A×2)と表すことができます。分母と分子の和が51なので、A+(A×2)=A×3=51より、A=17となりますので、答えを17番目と求めることができます。

今回取り上げた問題はどれも基本から標準的な難度の問題ですので、今さら見直さないでも、と思われるかもしれません。ただ、こうした問題を確実に得点できなければ、全体の点数が上がらないのがサピックスの組分けテストです。問題数も多いので、基本から標準的な難度の問題を、より確実に、少しでも速く解くことが、以降の応用問題を解くために費やす時間を捻出できることにもつながります。今回ご紹介したポイントをしっかり見直して、ぜひ新年度最初の組分けテストで力を発揮されてください。

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