2016.12.20配信
絶対に役立つ中学受験専門プロ家庭教師からの必勝アドバイス！
四谷大塚・早稲田アカデミー4･5年生 予習シリーズ算数下 第17回攻略ポイント
＜算数 5年下 第17回＞
第17回は『図形の移動(1)』です。図形の辺上を動く点について、移動する点の速さ、スタートする点、動く方向を注意することが大切です。また、自分で図形をかいて、長さを書き込んでみると、よりわかりやすくなります。
【攻略ポイント1】
「必修例題1」は、三角形の頂点と辺上を移動する点によってできる図形について、面積や、その面積ができる時間を考える問題です。
- 点Pは毎秒2cmの速さで9秒間動きますから、2×9＝18 より、18cm進みます。頂点Aから18cmの長さは、頂点Bを通って18－12＝6cmの地点です。角Bは直角ですから、BPの長さ6cmを底辺として、ABの長さ12cmが高さになります。6×12÷2＝36 より、三角形ABPの面積は、36平方cmです。
- 面積が60平方cmになるのは、ABの長さ12cmを高さとして、底辺の長さを求めると、60×2÷12＝10 より、BPの長さが10cmになるときです。これは、頂点Aから、12＋10＝22cm進んだところです。速さは毎秒2cmですから、22÷2＝11 より、点Pが頂点Aを出発してから11秒後です。
「必修例題2」は、2点が長方形の辺上を移動する問題で、基本は旅人算です。
- 頂点Aから毎秒1cmの速さで移動する点Pと、頂点Cから毎秒4cmで移動する点Qが、向かい合って同時に出発します。AC(＝AB＋BC)の長さは、8＋12＝20cmですから、20÷(1＋4)＝4 より、2点PとQは4秒後に重なります。
- 2回目に重なるのは、2点PとQが合わせて1周の長さ分移動したときです。1周の長さは、(8＋12)×2＝40cmですから、合わせて1周分移動するのにかかる時間は、40÷(1＋4)＝8秒間です。よって、5回目に重なるのは、1回目の4秒と、8秒を4回ですので、4＋8×4＝36 より、36秒後です。ここで、8×5と早とちりして計算をしないように気をつけましょう。
【攻略ポイント2】
「必修例題3」は、台形の辺上を点Pが移動する場合の、動く時間とその時の三角形PCDの面積の関係を表すグラフから考える問題です。
- グラフから、点Pは、10秒後に頂点Bに、16秒後に頂点Cに到着することがわかります。点Pの速さは毎秒1cmですから、ABの長さは、1×10＝10cmです。
(ア)グラフより、スタート(0秒)時に、三角形PCDは三角形ACDで、面積が20平方cmです。また、 AB＝10cmですから、20×2÷10＝4より、ADの長さは4cmです。 (イ) BCの長さは、1×(16－10)＝6より、6cmです。 - 点Pが辺AB上にあるとき、グラフにおいて、三角形PCDの面積は、0秒から10秒までで、20平方cmから30平方cmに増加していて、10秒から16秒までで、30平方cm減少しています。 (ア) (30－20)÷10＝1より、毎秒1平方cmずつ増加していることがわかります。よって、(24－20)÷1＝4より、点Pが動き始めてから4秒後です。 (イ) 30÷(16－10)＝5より、毎秒5平方cmずつ減少しますので、(30－24)÷5＝1.2より、10秒後から1.2秒たったときですから、同じく点Pが動き始めてから11.2秒後です。
【攻略ポイント3】
「必修例題4」は、円周上を移動する点の問題です。円の中心と移動する円周上の2点をそれぞれ結んでできる2本の直線の作る角度を考える問題です。そのため、点の移動の速さを、角度を用いて表すことが必要になります。点Pは1周するのに18秒かかります。よって、1周360度を18秒で動くことになりますので、360÷18＝20 より、点Pの速さは毎秒20度です。同様に、360÷12＝30 より、点Qの速さは毎秒30度です。
- Aを同時に出発して、1秒間に20＋30＝50度はなれますから、直角＝90度はなれるのは、90÷50＝1.8 より、1.8秒後です。
- P、O、Qの順に一直線上に並ぶのは、2点PとQが180度はなれるときです。180÷50＝3.6 より、3.6秒後です。
＜算数 4年下 第17回＞
第17回は『速さ(1)』です。速さの問題は、中学入試の問題で最頻出単元の1つです。基本からしっかりと身につけてください。速さとは、一定の時間で進む道のりを表したものです。一定の時間が、1秒の場合を秒速(毎秒)、1分の場合を分速(毎分)、1時間の場合を時速(毎時)といいます。このように、速さの単位は、時間の単位と長さの単位を合わせて使いますので、単位換算(単位を変える)の場合に注意が必要です。
【攻略ポイント1】
「必修例題1」は、単位換算の問題です。
- 秒速4mは、1秒間に4m進む速さで、分速□mは、1分間に□m進む速さです。1分＝60秒ですから、4mを60回くり返して、1分間に進む道のりになります。4×60＝240 より、分速240mです。
- 秒速5mは、1秒間に5m進む速さで、時速□kmは、1時間に□km進む速さです。1時間＝60分＝3600秒、１km＝1000mですから、5mを3600回くり返した道のりを、メートル単位からキロメートル単位に直します。5×3600÷1000＝18 より、1時間で18km進むことになりますので、時速18kmです。
- 時速3kmは、1時間に3km進む速さで、分速□mは、1分間に□m進む速さです。1時間＝60分、3km＝3000mですから、3000÷60＝50 より、1分間で50m進む速さ、つまり、分速50mです。
- 時速72kmは、1時間に72km進む速さで、秒速□mは、1秒間に□m進む速さです。1時間＝3600秒、72km＝72000mですから、72000÷3600＝20 より、1秒間で20m進む速さ、つまり、秒速20mです。
【攻略ポイント2】
速さの3公式について学習します。速さの3要素である、速さ、道のり、時間を求める問題です。3つの公式がありますが、 [速さ×時間＝道のり]のかけ算の形を基本公式として、必要により逆算を使った解法を説明します。また、速さの問題では、速さ、時間、道のりの単位がそろっていることが重要です。時速□㎞では、時間の単位は時間、道のりの単位は㎞にそろえて、計算します。同様に、分速□ｍでは、分、ｍに、秒速□ｍでは、秒、ｍにそろえます。
「必修例題2」は、速さを求める問題です。
- 分速□m×12分＝840m となりますので、840÷12＝70 より、速さは分速70mです。
- 分速□km×20分＝15km となりますが、単位がそろっていませんので、20分を時間の単位に直します。1分＝1/60時間ですから、20分＝20/60時間＝1/3時間です。よって、時速□km×1/3時間＝15km となりますので、15÷1/3＝45 より、速さは時速45kmです。
「必修例題3」は、道のりを求める問題です。
- 分速60m×16分＝□m となりますので、そのまま計算します。60×16＝960 より、960mです。
- 時速72m×1時間45分＝□km となりますが、45分を時間単位に直さなければいけません。45分＝45/60時間＝3/4時間です。よって、時速72km×1・3/4時間(＝1＋3/4)=□km となって、72×1・3/4＝126 より、126kmです。
「必修例題4」は、時間を求める問題です。
- 分速75m×□分＝1200m となりますので、1200÷75＝16 より、16分です。
- 時速40km×□分＝24km となります。24÷40＝0.6 より、0.6時間を分に直します。1時間＝60分ですから、60×0.6＝36 より、36分です。
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