2016.12.13配信
絶対に役立つ中学受験専門プロ家庭教師からの必勝アドバイス！
四谷大塚・早稲田アカデミー4･5年生 予習シリーズ算数下 第16回攻略ポイント
＜算数 5年下 第16回 ＞
第16回は『和と差に関する問題』です。つるかめ算の発展問題ならびに年令算を学習します。
【攻略ポイント1】
「必修例題1」は、条件不足のつるかめ算で、いもづる算ともいいます。1本180円のユリの花をA本、1本120円のバラの花をB本買います。180×A＋120×B＝1500円となりますが、AとBの和がわかっていません。ここが、条件不足です。いもづる算は、基本的には数をあてはめて考えるのですが、計算しやすくするため、(180×A)、(120×B)、(1500)を共通にわれる数で全体をわって、式を簡単にします。そのために、180、120、1500の最大公約数60でわります。結果、3×A＋2×B＝25という式を考えて、成り立つA、Bを求めます。A＝1、B＝11が見つかります。ここからが、いもづる算といわれるものです。芋(いも)が1つ見つかれば、そのつるを引き出していくと、いくつもの芋が見つかるように、1組のAとBが見つかると、そこから他の組も次々に見つかるという解法です。この問題では、A＝1、B＝11から始めて、そこから3×Aの増える値と、2×Bの減る値が同じであれば、3×Aと2×Bの合計である25は常に一定になることに注目します。そこで、3と2の最小公倍数である6ずつ増減する数の組を考えます。3×Aは、3×1＝3の次は、3×3＝9、3×5＝15、…というように、Aが2ずつ増えていく数、2×Bは2×11＝22、2×8＝16、2×5＝10、…というように、Bが3ずつ減っていく数とすると、合計の25は変わらなくなります。まとめると、Aは2×Bの「2」ずつ増える数、Bは3×Aの「3」ずつ減る数を考えればよいことになります。よって、(A、B)の組は、(1、11)の他に、(3、8)、(5、5)、(7、2)の全部で4通りとなります。
【攻略ポイント2】
「必修例題2」は、3種類のつるかめ算です。このうち、2種類のものを、工夫して1種類にすることで、一般的なつるかめ算として解く問題です。
- AとBの個数を1：2の割合で買います。2種類の品物について、個数の条件がある場合には、平均を利用します。1個60円のAを1個と1個90円のBを2個買うことにすると、代金の合計は60×1＋90×2＝240円です。これは、3個の平均(240÷3＝)80円の品物を3個買った時の代金と等しくなります。このことから、「1個80円の品物と、1個110円のCを合わせて36個買って、代金の合計が3060円になる」ことと同じになります。そこでこの関係について、一般的なつるかめ算として解きます。(110×36−3060)÷(110−80)＝30より、80円の品物を30個買うことになります。そして、この30個のうち、(1＋2＝)3等分したうちの2つ分がBですから、30÷3×2＝20より、Bは20個になります。
- 個数の条件がない場合の解き方です。Aを36個すべて買うことにします。すると、実際との差は、3060−60×36＝900円になります。ここから、A1個をB1個に交換すると、90−60＝30円高くなり、A1個をC1個に交換すると、110−60＝50円高くなります。AとBをb個交換し、Cをc個交換すると、30×b＋50×c＝900円という式ができます。ここで、いもづる算を使います。3×b＋5×c＝90が成り立つ、(b、c)の組を考えます。まず、(30、0)が考えられます。ここから、bを5ずつ減らし、cを3ずつ増やした組を作ります。(25、3)、(20、6)、(15、9)、(10、12)、(5、15)、(0、18)が作れます。ですが、「どの品物も少なくとも1個は買う」という条件がありますので、(30、0)と(0、18)の組は成り立ちません。よって買い方は、残りの5通りです。
【攻略ポイント3】
「必修例題3」は、年令に関する問題で、年令算といわれる問題です。父と私の年令の差は、何年前でも何年後でも同じであることに注目して解きます。
- 2年後には、父も私も2才年を取りますから、年令の合計は、44＋2×2＝48才です。そして、2年後に父の年令が私の年令の3倍なりますので、(1＋3＝)4等分したうちの1つ分がその時の私の年令です。48÷4＝12、12−2＝10より、私が12才の時で、現在の私の年令は、10才です。
- 現在の私は10才で、父は44−10＝34才です。差の(34−10＝)24才は、いつも変わりませんから、父の年令が私の年令の5倍であった時でも、24才の差は変わりません。よって、24才を、(5−1＝)4等分したうちの1つ分が私の年令です。24÷4＝6、10−6＝4より、私が6才の時で、今から4年前です。
＜算数 4年下 第16回 ＞
第16回は『立方体と直方体(2)』です。立方体・直方体の形やそれぞれの面の形は、予習シリーズ4年上の第14回で学習しました。この学習内容をもとに、今回は、立方体・直方体の表面積や体積を学習します。
【攻略ポイント1】
まず、表面積について学習します。表面積とは、展開図の面積のことです。立方体の表面は同じ大きさの正方形6つでできています。正方形の面積は、1辺×1辺で求まります。よって，立方体の表面積＝1辺×1辺×6 です。また、直方体の表面積ですが、直方体の展開図を考えると、(たての長さ)×(横の長さ)の長方形、(横の長さ×高さの長さ)の長方形、(高さの長さ×たての長さ)の長方形が、それぞれ2つずつあります。よって、直方体の表面積＝(たて×横＋横×高さ＋高さ×たて)×2 となります。
「必修例題1」は、直方体の表面積を求める問題です。たて6cm、横10cm、高さ4cmの直方体ですので、(6×10＋10×4＋4×6)×2＝248 より、表面積は248平方cmです。
「必修例題2」は，直方体から立方体を切り取った立体の表面積を求める問題です。複雑に見える立体の場合、前後、上下、左右の6方向から見える面を考えると，計算しやすくなります。前から見ると、高さ6cm、横9cmの長方形になり、後ろから見た形と同じです。上から見ると，たて8cm，横9cmの長方形になり，下から見た形と同じです。右から見ると、高さ6cm、たて8cmの長方形になり、左から見た形と同じです（予習シリーズ122ページの図が色分けしていてわかりやすいので、参考にしてください）。まとめると、立方体を切り取る前の、もとの直方体の表面積と同じになります。(6×9＋9×8＋8×6)×2＝348より，この立体の表面積は348平方cmです。
【攻略ポイント2】
次に、体積について学習します。まず、たて、横、高さが、すべて1cmの立方体の体積を1立方cmとして、これをもとにして考えます。この1立方cmの立方体が、たて、横、高さの方向に、何個ずつ積んであるかで、立方体・直方体の体積が決まります。計算すると、たて、横、高さの長さのかけ算の答えと同じになりますので、結局、体積＝(たての長さ)×(横の長さ)×(高さの長さ) で求めることができます。
「必修例題3」は，2つの直方体を組み合わせていますので、それぞれの直方体の体積を求めて、合計します。手前の直方体は、たて4cm、横7cm、高さ(6−2＝)4cmですから、体積は、4×7×4＝112 より、112立方cmです。奥の直方体は、たて3cm、横12cm、高さ6cmですから、3×12×6＝216 より、216立方cm です。よって、112＋216＝328 より、この立体の体積は、328立方cmとなります。
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