2016.11.15配信
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四谷大塚・早稲田アカデミー4･5年生 予習シリーズ算数下 第12回攻略ポイント
＜算数 5年下 第12回 ＞
第12回は『流水算・通過算』です。流水算は、流れのある川を船が進む場合の速度・時間・距離を考える問題です。通過算は、電車が鉄橋やトンネルを通過する場合、また他の電車との出会いや追い越しをする場合の速度・時間・長さを考える問題です。
【攻略ポイント1】
流水算では、説明上の用語として、川の流れの速さは「流れの速度」、流れのないところ(静水時)での船の速さは「静水時の速度」と表すことにします。速度に関しての基本は2つです。船が、川の流れの方向と同じ方向(下り)に進むときは、下りの速度＝静水時の速度＋流れの速度、川の流れと反対の方向(上り)に進むときは、上りの速度＝静水時の速度−流れの速度となります。
「必修例題1」は、流水算の基本問題です。
- 40kmの距離を2時間30分(2.5時間)で上りますから、上りの速度は40km÷2.5時間＝16km/時(時速16km)です。上に述べましたように、上りの速度＝静水時の速度−流れの速度 ですから、20−16＝4より、川の流れの速度は、4km/時です。
- 下りの速度＝流水時の速度＋流れの速度 ですから、20＋4＝24km/時です。40÷24＝1・2/3より、2/3時間は、60分÷3×2＝40分ですから、下りにかかる時間は、1時間40分となります。
「必修例題2」も、基本的な問題です。ここでは、下りの速度と上りの速度から、静水時の速度、流れの速度を求める解き方を学習します。下りの速度は、静水時の速度と流れの速度の和であり、下りの速度は、静水時の速度と流れの速度の差になっていますから、和差算を利用して2つの速度のそれぞれの値は、静水時の速度＝(上りの速さ＋下りの速さ)÷2、流れの速度＝(下りの速さ−上りの速度)÷2、で求めることができます。上りの速度＝42km÷3時間＝14km/時、下りの速度＝42km÷1・3/4(1時間45分)＝24km/時です。よって、和差算により、静水時の速度は、(24＋14)÷2＝19km/時 です。また、流れの速度は、(24−14)÷2＝5km/時 です。
【攻略ポイント2】
「必修例題3」は、比を利用した流水算です。AB間の距離は同じですから、時間比の逆比として速度比(下りと上りの速度比)を求め、この速度比から流れの速度を出します。ここで、数値が与えられている流れの速度＝2.4km/時にあわせて、実際の下りの速度(上りの速度)を求めます。下りと上りの速度比 1/25：1/45＝9：5 ですから、流れの速度＝(9−5)÷2＝2 で、これが2.4km/時にあたります。下りの速度は、2.4÷2×9＝10.8km/時 となります。よって、A町からB町までの距離は、10.8km/時×25/60時間＝4.5km です。
「必修例題4」は、反対方向に進む2つの船Pと船Qの出会いの問題です。旅人算で学習したように、出会いの問題では、速度は船Pと船Qの上りと下りの速度の和になりますが、流水算では、下りの速度＋上りの速度＝(静水時の速度＋流れの速度)＋(静水時の速度−流れの速度)＝静水時の速度＋静水時の速度 ということになります。つまり、この問題のポイントは、解法上、流れの速度は関係しないということです。
- 上りは、11−8＝3時間かかっていますので、上りの速度は、36÷3＝12km/時、下りは、10−8＝2時間かかっていますので、下りの速度は、36÷2＝18km/時です。よって、(12＋18)÷2＝15より、静水時の速度は、15km/時です。また、15−12＝3より、流れの速度は、3km/時です。
- 船P、Qの静水時の速度は等しいので、上りの速度、下りの速度もそれぞれ等しくなりますので、船P、Qがそれぞれ往復する時間も等しくなります。ですから、2回目に出会ってから出発地点にもどる時間は等しくなります。船P、Q合わせて36km進みますので、36÷(12＋18)＝1.2時間かかります。よって、下りの速度で、1.2時間かかる距離を求めます。18×1.2＝21.6より、A町から、21.6km離れたところです。
【攻略ポイント3】
通過算は、例えば、電車の先頭や最後尾なでの1点の動きを動いた長さとして考えます。そこで、通過距離＝電車の長さ＋通過物体(鉄橋、トンネル、他の電車)の長さとして考えることがポイントになります。また、速度単位について、問題文では時速〇kmで与えられますが、解法上では、秒速△mを使用することがほとんどですので、単位換算ができるようにしておきましょう。
「必修例題5」は、通過算の基本問題です。90km/時＝25m/秒です。
- 通過物体である電柱の幅(長さ)は考えませんので、通過距離は、電車の長さとなります。25×8＝200より、電車の長さは、200mです。
- 通過距離は、200＋1750＝1950mですから、1950÷25＝78より、トンネルを通りぬけるのに78秒かかります。
「必修例題6」は、2つの電車が、すれちがったり、追いこしたりする、電車の旅人算です。これらの場合の通過距離は、2つの電車の長さの和になります。
- A列車の速度は、54km/時＝15m/秒、B列車の速度は、90km/時＝25m/秒です。すれちがい、つまり反対方向に進む場合の問題ですから、速度は、A、Bの速度の和になります。(180＋100)÷(15＋25)＝7より、7秒かかります。
- C列車の速度は、72km/時＝20m/秒です。追いつき追い越す、つまり同じ方向に進む問題で、時間が70秒かかりますので、(120＋160)÷70＝4より、速度の差が4m/秒です。よって、D列車の方が遅いので、20−4＝16m/秒です。これを時速に直します。16×60×60÷1000＝57.6より、D列車の時速は、57.6km/時です。
＜算数 4年下 第12回 ＞
第12回は『消去算』です。大きさのわからない数量(＝未知数といいます)が2つ入っている問題で、一方の数量をそろえて消し去る(消去する)ことにより、残ったもう一方の数量の関係から未知数の片方を求める問題です。消去する方法は2通り(加減法・代入法)あります。具体的に問題を使って説明します。まずは、問題内容を式を使って整頓します。
【攻略ポイント1】
「必修例題1」では、大＝大人1人の入園料、子＝子ども1人の入園料として、大×1＋子×4＝440円…A、大×2＋子×5＝700円…B と表します。
次に、Aの式全体を2倍して、大人2人にそろえます。つまり、A×2＝大×2＋子×8＝880円として、Bの式とくらべます。
880円と700円の差は子ども8人と5人の違いです。よって、(880−700)÷(8−5)＝60円 が子ども1人の入園料となります。そして、子どもの入園料60円をAの式に使って、440−60×4＝200円 が大人の入園料と求められます。
このように、子どもの入園料分だけで考えられるように、一方の数量(大人の入園料分)を引いて(加える場合もあり)なくす方法を、加減法といいます。
「必修例題2」も加減法ですが、数量をそろえる場面で最小公倍数を利用するところがポイントです。
ボ＝ボールペン1本の値段、え＝えんぴつ1本の値段として、ボ×2＋え×7＝790円…A、ボ×3＋え×5＝800円…B と表します。
ボールペンの本数を2と3の最小公倍数である6本にそろえます。そのためには、Aの式全体を3倍、Bの式全体を2倍します。A×3よりボ×6＋え×21＝2370円、B×2よりボ×6＋え×10＝1600円 となります。
この2つの式から、(2370−1600)÷(21−10)＝70円 が、えんぴつ1本の値段と求められます。また、この70円をAの式に使って、ボールペン1本の値段は、(790−70×7)÷2＝150円 です。
【攻略ポイント2】
「必修例題3」では、ジ＝ジュース1本の値段、ケ＝ケーキ1個の値段として、ジ×3＋ケ×1＝420円…A、ケ×1＝ジ×1＋60円…B と表します。 次に、Aの式をジュースだけの関係の式にします。Bの式の関係から ジ×3＋ケ×1＝ジ×1＋ジ×1＋60 となり、まとめると ジ×(3＋1)＋60＝420 となります。よって、ジュース1本は、(420−60)÷4＝90円 です。そこで、Bの式からケーキ1個の値段は、90＋60＝150円 と求められます。 このように、ケーキの値段の代わりにジュースの値段を利用して表す(代わりに式に代入する)方法を、代入法といいます。
「必修例題4」では、リ＝リンゴ1個の値段、メ＝メロン1個の値段として、リ×3＋メ×2＝1040円…A、メ×1＝リ×2＋100円…B と表します。 Bの式から、Ａの式の メ×2の部分は (リ×2＋100)×2＝リ×4＋200 となります(計算法則の中の分配のきまり)。結果、Aの式は リ×3＋リ×4＋200＝1040 となります。よって、リンゴ1個の値段は、(1040−200)÷(3＋4)＝120円 ですので、Bの式から、メロン1個の値段は、120×2＋100＝340円 となります。
必修例題および類題を学習して、消去算を確実に身につけてください。
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