2016.10.18配信
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四谷大塚・早稲田アカデミー4･5年生 予習シリーズ算数下 第8回攻略ポイント
＜算数 5年下 第8回 ＞
第8回は『平面図形と比(3)』です。直角三角形についての相似の問題、図形を折り返したときの角度・長さ・面積の問題、太陽の光や街灯の光による影の長さの問題を学習します。
【攻略ポイント1】
「必修例題1」は直角三角形の相似の問題です。2つの相似な三角形において、対応する角をはさむ2つの辺の比は等しくなります。予習シリーズ「必修例題1」の直前の説明および図を参照してください。
直角三角形ABCの中に正方形を作った図において、全体の直角三角形ABCと、残りの三角形2つ(正方形の上と左に接する直角三角形)は、ともに相似ですから、それぞれの直角をはさむ辺の比は、21：28＝3：4となります。正方形の左の接している直角三角形に注目して、直角三角形の高さの長さを3とすると、正方形の1辺の長さは3であり、正方形の横の長さも、同じく3です。よって、辺BCの長さ28cmは、直角三角形の底辺の長さと、正方形の1辺の長さの比4：3に分かれます。したがって、28÷(4＋3)×3＝12より、正方形の1辺の長さは、12cmです。
【攻略ポイント2】
図形を折り返す問題を学習します。基本として、折り返した図形は合同な図形です。よって、辺の長さや角の大きさが同じ図形が移動します。
「必修例題2」は、正三角形ABCの頂点Aが辺BC上にくるように、図形を折った問題です。三角形ACEの外角である角EABの大きさは、外角の定理により、34＋60＝94度です。この角の一部分である角CAEは正三角形の1つの角を折り返したものですから、60度です。よって、角DAB＝94−60＝34度です。三角形ABDにおいて、180−(60＋34)＝86より、ｘは、86度となります。
「必修例題3」は、長方形の1つの頂点Bが辺ADの上にくるように、図形を折った問題です。長方形のうち、折って重なった図形以外の2つの三角形は、相似な図形になることを確認しておいて下さい。
- 三角形FECは三角形BCEを折り返した図形で、合同ですから面積も同じです。FC＝BC＝15、FE＝BE＝9−4＝5ですから、15×5÷2＝37.5より、三角形FECの面積は、37.5平方cmです。
- 三角形AEFと三角形DFCは相似で、相似比は、EF：FC＝5：15＝1：3です。よって、AE：DF＝1：3より、DF＝4cm÷1×3＝12cmですから、12×9÷2＝54より、三角形FCDの面積は、54平方cmです。
【攻略ポイント3】
太陽の光や街灯の光による影の問題を学習します。
「必修例題4」は、太陽光による影の問題です。この問題では、文章中に必ず、実物(棒)の長さと影の長さが与えられます。この棒の長さと影の長さによる三角形と、問題中の木の長さと影の長さによる三角形を、相似な三角形として問題を解いていきます。ただし、木の長さと影の長さについては、へいにうつった木の影の先端から木に垂直な線を引いた三角形を考えることがポイントになります。
実物の長さ：影の長さ＝30：40＝3：4です。これは、木の高さからへいに移った影の長さを引いた木の高さ(ア)と、木からへいまでの影の長さ(イ)の比に等しくなります。(イ)＝6mですから、(ア)＝6÷4×3＝4.5mです。よって、4.5＋2＝6.5より、木の高さは、6.5mです。
「必修例題5」は、街灯光による影の問題では、必修例題4と同じように、人の身長の先端から街灯に垂直な線を引いた三角形を考え、この三角形と人の身長と影の長さによる三角形の相似を考えて問題を解いていきます。
とも子さんの影の長さをｘとして、(4−1.5)：3＝1.5：ｘという関係になります。この比例式を解きます。3×1.5÷2.5＝1.8より、影の長さは、1.8mです。
＜算数 4年下 第8回 ＞
第8回は『分数(2)』です。分数どうしの大小をくらべたり、分数どうしの加減をする場合に必要な、通分や約分の仕方を学習します。分母が同じ分数では、分子が大きくなれば分数は大きくなる、ということはおわかりですね。ですから、分母の異なった分数を分母の同じ分数にして考えます。このために必要なことが、通分という作業です。また、分数の大きさを考える上で、分子・分母をなるべく簡単な数で表すことも大切です。この分数 (これ以上約分できない分数) のことを既約分数(きやくぶんすう と読みます)といいます。この作業が約分です。これらの通分・約分の作業では、「分数の分子・分母に0でない同じ数をかけても、0でない同じ数でわっても分数の大きさは変わらない」という重要な性質を利用します。
【攻略ポイント1】
「必修例題1」は、既約分数にする問題や、通分する問題です。
「必修例題2」は異分母(分母の異なる)の加減です。異なる分母の数の最小公倍数を新しい分母として、同分母の加減を行います。
- それぞれの分数の分母、3と2の最小公倍数である6を新しい分母として通分します。整数部分はそのままで、分数部分を2/3＝4/6、1/2＝3/6として、整数部分の和は5＋3＝8、分数部分の和は、4/6＋3/6＝7/6＝1・1/6になりますので、8＋1・1/6＝9・1/6が答えです。
- 分母6と15の最小公倍数30を新しい分母として通分します。分数部分は、5/30、14/30となりますので、引けません。そこで整数部分から1を繰り下げます。つまり、3・5/30＝2・35/60とします。そして，引き算です。整数部分の差は、2−1＝1、分数部分の差は35/30−14/30＝21/30ですが、約分ができますので、21/30＝7/10となります。答えは、1・7/10です。
ポイントを整理しますと、通分後の分数の加減では、整数部分・分数部分は別々に加減する。引き算では、繰り下がりに注意する。答えは既約分数(これ以上約分できない分数)で答える、となります。
【攻略ポイント2】
「必修例題3」は、分数の仕組みを考える問題です。ここでも、分母をそろえる(＝通分する)ことが解法のコツです。
- 問題内容を整頓すると、(□＋5)/48＝5/8ですから、通分して5/8＝30/48とすると、分子部分は □＋5＝30 となりますので、□＝25とわかります。
- 約分後の分子・分母の和が13になるのですから、91÷13＝7で約分したことがわかります。よって、もとの分子は(4×7)、分母は(9×7)です。つまり、28/63となります。
【攻略ポイント3】
分数、小数の混合問題では、小数を分数に直します。直し方は0.1＝1/10、0.01＝1/100、0.001＝1/1000、などを利用します。例えば、2.34＝0.01×234ですので、(1/100)×234＝234/100＝2・34/100となります。ここで、約分できる場合は約分しますので，2・17/50とします。
「必修例題4」の大小くらべでは、分数で通分するところですが、3つの分数の通分はなかなか難しいものです。この場合は、すべて小数に直すことも一つの考え方です。分数を小数に直す場合、分子÷分母をします。ここでは、割り切る必要はなく、他とくらべて、大小がわかればよいのです。
4/5＝4÷5＝0.8、7/9＝7÷9＝0.77…、よって、小さい方から0.72、0.77…、0.8となりますが、答えは、もとの数を使って答えなければいけません。小さい順に、0.72、7/9、4/5となります。
約分、通分がスムーズにできるように、日々のトレーニングを大切にしてください。
われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に１００％合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。
