2016.6.8配信
絶対に役立つ中学受験専門プロ家庭教師からの必勝アドバイス！
四谷大塚・早稲田アカデミー 予習シリーズ算数上6年第15回・5年第16回攻略ポイント！
＜算数 6年上 第15回 ＞
第15回は『立体図形(2)』です。立体の構成(辺、頂点、面)、立方体の切断、くりぬき、立体の2回切断などを学習します。
【攻略ポイント1】
「必修例題1」は立体図形の頂点、辺、面の数を考える問題です。合同な20個の正三角形で囲まれた立体について、問題の図を見て数えていくのではなく、それぞれの構成を考えて、計算して求めます。 (1) この立体の頂点は、5つの正三角形が1点に集まって1つの頂点ができています。正三角形の3つの頂点が20個で3×20＝60あります。60個の頂点のうち5つ集まって、この立体の頂点が1つできています。よって、60÷5＝12より、この立体の頂点の数は12個です。また、この立体の辺は、2つの正三角形の辺が重なって1つの辺になっています。正三角形の3本の辺が20個で3×20＝60本あります。60本の辺のうち2本ずつが重なって、この立体の辺が1つできています。よって、60÷2＝30より、この立体の辺の数は、30本です。 (2) この立体のすべての頂点を平面で切り取ることにより、正五角形の断面を作ります。頂点の個数は、1個の頂点が無くなって、新しく5個の頂点ができることになります。よって、12か所それぞれについて、5個の頂点ができますので、5×12＝60より、頂点の個数は、60個になります。また、辺の本数については、もとの辺の本数はそのままで、新しく五角形の5本が12か所にできますので、30＋5×12＝90より、辺の数は、90本です。
「必修例題2」は、一見どんな形かわからない立体の体積を求める問題です。体積計算は、柱体ならば、底面積×高さ、すい体ならば、底面積×高さ×1/3で求めます。つまり、必ず、底面積と高さが必要になりますが、底面と高さは垂直の関係でなければなりません。このことに注目して考えます。予習シリーズ165ページの問題および解き方の図を参照して下さい。 この立体において垂直な面と辺はありませんので、辺に垂直な面を新たに作ります。辺AB上に中点（2等分する点）Mを作り、三角形MCDを考えると、この面MCDは、辺ABと垂直の関係になります。辺CD＝6cmを底辺とし、立方体の高さ＝6cmを高さとする三角形MCDの面積は、6×6÷2＝18平方cmと求められます。そこでこの立体は、三角形MCDを底面とする、高さAMの三角すいと、同じく三角形MCDを底面とする、高さBMの三角すいの合計になります。よって、三角形MCDの面積18平方cmを底面積として、高さを辺ABの長さ6cmとする三角すいの体積を考えることになります。18×6×1/3＝36より、この立体の体積は、36立方cmです。
【攻略ポイント2】
「必修例題3」は、切断した立体の体積を求める問題です。前問と同様、柱体の体積を求めますので、基本は底面積×高さです。前述したように、高さは底面積と垂直の関係にありますが、この問題では、ひとつに統一された高さがありません。この場合、高さの平均を利用することが知られています。
- 底面は円で、高さは (3＋5)÷2＝4を利用します。3×3×3.14×4＝36×3.14＝113.04より、体積は、113.04立方cmです。
- 底面は、左側面の4×6＝24平方cmで、高さは、底面の長方形の対角上にある辺の長さを平均した長さ(3＋4)÷2＝3.5となります。24×3.5＝84より、体積は84立方cmです。
- 三角柱の場合、底面積は、三角形の面積である、4×4÷2＝8平方cmで、高さは3つの高さの平均で、(3＋4＋5)÷3＝4となります。8×4＝32より、体積は、32立方cmです。
【攻略ポイント3】
「必修例題4」は、小さい立方体を、たて、横、高さの方向に同じ個数ずつ積み重ねて大きな立方体を作り、1つの面で切断する問題です。予習シリーズと同一の説明になりますので、説明は省略しますが、いくつかの段階を踏んで解き進める必要がある問題ですので、予習シリーズ167ページの解き方の図を参照しながら、少し時間をかけてでも解き方をよく読んで、図を理解して下さい。
＜算数 5年上 第16回 ＞
第16回は『速さ(2)』です。速さの3公式、往復の平均速度、ダイヤグラム、その他の速さの問題を学習します。
【攻略ポイント1】
「必修例題1」は、速度の3公式を使う問題です。速度の問題では単位換算が重要になります。時速○kmならば、時間の単位は時間を、距離(＝道のり)の単位はkmを使います。分速○mならば、時間の単位は分を、距離の単位はmを使います。
- 時速□kmを求めますので、距離単位はkmを、時間単位は時間を使用します。1時間20分を時間単位で表すと、20分は20/60＝1/3時間ですから、速度＝距離÷時間の公式により、20÷1・1/3（1＋1/3をこのように表すことにします）＝20×3/4＝15となりますので、時速15kmですから、□にあてはまる数は15となります。
- 分速ですので、3時間40分＝220分と時間を分に換算します。距離＝速度×時間の公式により、60×220＝1320より、1320m＝13.2kmですから、□にあてはまる数は、13.2です。
- 時間＝距離÷速度の公式により、12.6÷36＝126/360＝7/20となりますので、7/20時間です。分単位に換算すると、60分×7/20＝21分より、□にあてはまる数は21です。
「必修例題2」は、往復の平均速度の問題です。往復の平均速度は、往復の距離を、往復にかかった時間で割って求めます。行き帰りの速度をたして2で割ることではありませんので、注意しましょう。もともと速度の計算は、動きはじめから速度が一定であるわけではなく、距離を時間で割るという平均の考えです。2つの平均をたして2で割っても全体の平均を求めたことにはなりません。例えば、3人の体重平均と2人の体重平均から5人の体重平均を求める場合でも、正しくは、5人の体重合計を5で割ることで求める、ことと同様です。
- 行きにかかる時間は、5÷12＝5/12時間で、帰りにかかる時間は、5÷3＝5/3時間ですから、5/12＋5/3＝5/12＋20/12＝25/12＝2・1/12より、2・1/12時間で、1/12時間は、60分×1/12＝5分ですから、往復にかかった時間は、2時間5分です。
- 往復した平均速度＝往復の距離÷往復の時間ですから、(5×2)÷2・1/12＝10×12/25＝24/5＝4.8より、往復した平均速度は、毎時4.8kmです。
【攻略ポイント2】
「必修例題3」は、ダイヤグラムの問題です。まず、ダイヤグラムとは、たて軸に距離を表し、横軸に時間を表して、距離と時間の関係を表したグラフのことです。このグラフを読めるようにすることが、今後の速さの問題を解くうえで大切になってきます。グラフの直線が右上がりの部分は、時間とともに前に進んでいることを表しています(右下がりの場合は、後ろへもどることを表します)。グラフの直線が横軸と平行の部分は、距離が進まずにとどまっていることを表しています。
- グラフのaは、午前8時に出発して、時速4kmの速度で進む太郎君が3.2km進んだ時刻を表しています。時間＝距離÷速さ ですから、3.2÷4＝0.8より、0.8時間＝48分ですから、aにあてはまる数は、8時＋48分＝8時48分です。
- グラフの読み方としては、直角三角形を作って読みます。走る部分のグラフを直角三角形の斜めの辺、横軸が底辺、たて軸が高さにあたる三角形を考えると整頓できます。たて軸は、5−3.2＝1.8kmで、横軸は、C地点で立ち寄っていた20分を入れた8時＋48分＋20分＝9時8分から9時17分までの、(17−8＝)9分です。9分＝9/60時間ですから、速度＝距離÷時間より、1.8÷9/60＝18/10×60/9＝12となり、走る速度は、時速12kmです。
【攻略ポイント3】
「必修例題4」は、速さのつるかめ算の問題です。家から交番までを毎分70mの速度で歩き、交番から学校までを毎分50mの速度で行きますが、距離の合計は1200mで、時間の合計は20分とわかっています。速度×時間＝距離から、かけ算の関係が2つあり、積(かけ算の答え)の合計が与えられていて、かける数の合計が与えられていますので、つるかめ算の問題になります。家から交番までの距離を求めますので、この距離を進む時間がわかれば、答えを求めることができます。交番から学校まで行く速度である毎分50mですべての距離を行くと仮定することからはじめます。(1200−50×20)÷(70−50)＝10より、家から交番まで、毎分70mの速度で10分かかったことがわかります。70×10＝700より、家から交番までの距離は、700mです。
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