2016.3.17配信
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四谷大塚・早稲田アカデミー5･6年生 予習シリーズ算数上 第7回攻略ポイント
＜算数 6年上 第7回 ＞
第7回は『数(1)』です。約数・倍数に関連した色々な問題を、復習を兼ねて学習します。
【攻略ポイント1】
「必修例題1(2)」は、ある数の倍数ではない数の個数を求める問題です。1から1000までの数のうち、3か5で割り切れる数の個数を引いて求めます。3で割り切れる数、つまり3の倍数は、1000÷3＝333あまり1より、333個あります。また、5で割り切れる数、つまり5の倍数は、1000÷5＝200より、200個あります。333＋200＝533個の中には、共通の数、つまり3と5の公倍数が2回ずつ数えられています。3と5の公倍数は、3と5の最小公倍数である15の倍数ですから、1000÷15＝66あまり10より、66個除きます。よって、533−66＝467個が、3か5で割り切れる数の個数です。そこで、3でも5でも割り切れない数は、1000−467＝533より、533個です。 「別解」として、周期を考えた解き方を説明します。3と5の最小公倍数である15を1組とする数列をつくります。1、2、3、…と、15までを一列、16から30までを一列、31から……として、列を変えて書いてみます。3でも5でも割り切れない数は、15までに、{1、2、4、7、8、11、13、14,}の8個あります。また、15の後30までに、{16、17、19、22、23、26、28、29}の8個です。以下もこのように続き、左から順に同じ位置の数が残っています。そこで、1000÷15＝66組あまり10より、1組の中に8個ずつ66組と、あまり10の中に{1、2、4、7、8}と同じ位置の5個があります。8×66＋5＝533より、533個と求められます。
「必修例題2(2)」は、公倍数を考える問題です。ある3けたの整数を□とします。問題文を整頓すると、(ア)□＋5＝3の倍数 と表せます。(イ)□＋3＝5の倍数 と表せます。(ア)の式の等号の左右に3を加えると、□＋5＋3＝(3の倍数)＋3になり、等号の右側はやはり3の倍数です。(イ)の式の等号の左右に5を加えると、□＋3＋5＝(5の倍数)＋5になり、等号の右側はやはり5の倍数です。結果、等号の左側はどちらも、 □＋8で、この数が 3の倍数であり、5の倍数ですから、3と5の公倍数です。よって、□＋8は、3と5の最小公倍数の倍数である15の倍数ですから、(100＋8)÷15＝7あまり3より、15×(7＋1)−8＝112より、3けたで最も小さい整数は、112となります。
【攻略ポイント2】
「必修例題4(2)」は、3つの整数をある整数Aで割ったときのあまりが同じになる問題です。例えば、14、17、23のように、3 (Aにあたるもの) で割ると2あまる数を考えます。2つの整数の差は、17−14＝3、23−17＝6、23−14＝9となり、差はすべて3の倍数です。このように、整数Aで割ったときのあまりが同じになる整数の場合、整数どうしの差は整数Aの倍数です。言いかえる、整数Aは、割られる整数の共通の約数、つまり公約数です。問題の整数61、97、151の2組の差を求めます。97−61＝36、151−97＝54です(151−61など、ほかの2つの整数の組み合わせでもかまいません)。よって、36と54の最大公約数は、18ですから、割った整数Aの最大の数は、18です。
【攻略ポイント3】
「必修例題5(2)」は、約数の個数が3個の整数を考える問題です。素因数分解を利用した約数の個数の求め方を利用します。ある素数をAとしますと、約数の個数が3個の整数は、素因数分解の形が、A×Aとなります。よって、2×2＝4、3×3＝9、…と続きます。よって、素数の小さい方から5番目の11を使った、11×11＝121より、121が答えです。
「必修例題5(3)」は、約数の個数が4個の整数を考える問題です。(2)と同様、ある素数をA、別の素数をBとして、素因数分解の形が、A×Bとなります。また、A×A×Aの形も、約数の個数は4個です。A×Bの形では、小さい方から順に、2×3＝6、2×5＝10、2×7＝14、3×5＝15、3×7＝21、2×11＝22、…と続きます。また、A×A×Aの形では、2×2×2＝8、3×3×3＝27、…と続きます。よって、21は、6、8、10、14、15、21、の6番目になります。
＜算数 5年上 第7回 ＞
第7回は『食塩水』です。食塩水(水に食塩を加えたもの)の重さを元として、その中にとけている食塩の重さを比べる、割合の問題です。元となる食塩水の重さには、食塩の重さが含まれることに注意しましょう。また、濃さの単位は％ですが、計算上は、小数か分数を使用することも注意です(分数で計算するとスピードアップになります)。
【攻略ポイント1】
「必修例題1」は、基本のトレーニングです。「食塩水の重さ×食塩水の濃さ＝食塩の量」を基本に整頓します。(1)食塩水の重さに注意します。濃さを□％として整頓すると、(100＋25)×□＝25となります。□＝25÷125と計算できますが、濃さの単位は％ですから、計算上でてくる数量を100倍して％の単位にします。□×100＝25÷125×100＝20より、食塩水の濃さは20％です。(2)濃さは8％ですから、計算上8/100として、150×8/100＝12より、とけている食塩の重さは、12ｇです。(3)水の重さを□ｇとして整頓すると、(□＋15)×6/100＝15となります。□＝15÷6/100−15＝250−15＝235より、水の重さは、235ｇです。
【攻略ポイント2】
「必修例題2(2)」は、食塩水の水を加える混合問題です。水を加えても、食塩の重さは変わらないことに注目します。(2)食塩の重さは、250×8/100＝20ｇです。加える水の重さを□ｇとして、整頓すると、(250＋□)×5/100＝20となります。□＝20÷5/100−250＝150より、加えた水の重さは150ｇとなります。
「必修例題3」は、食塩水に食塩を加える混合問題です。食塩を加えると、食塩水も増えることに注意します。(1)はじめの食塩の重さは、300×4/100＝12ｇです。よって、食塩を20ｇ加えた後の濃さを□％として、整頓すると、(300＋20)×□/100＝12＋20となります。□/100＝32÷320ですので、100倍して、□/100×100＝10より、濃さは10％です。(2)はじめの食塩の重さは、150×12/100＝18ｇです。加えた食塩の重さを□ｇとして整頓すると、(150＋□)×20/100＝18＋□となりますが、これでは、□を求めることができません。そこで、変化していない水の重さに注目します。食塩水全体の12％が食塩の重さですから、100−12＝88％が水の重さです。150×88/100＝132ｇである水の重さは、食塩を加えた後では、100−20＝80％になります。よって、加える食塩の重さを□ｇとして、水の重さについて整頓すると、(150＋□)×80/100＝132より、□＝132÷8/100−150＝15より、加えた食塩の重さは15ｇとわかります。
【攻略ポイント3】
「必修例題5」は、食塩水どうしの混合問題です。(1)では、それぞれの食塩の重さを求めて、食塩水の重さの合計、食塩の重さの合計を使い濃さを求めます。200×4/100＝8、300×9/100＝27ですので、濃さを□％として整頓すると、(200＋300)×□/100＝8＋27となります。□/100＝35÷500ですので、100倍して、□/100×100＝7より、2つの食塩水を混ぜてできた食塩水の濃さは、7％です。(2)濃さを□％とした食塩水200ｇの、食塩の重さは200×□/100＝2×□となります。もう一方の食塩水では、食塩の重さは、100×5/100＝5です。整頓すると、 (200＋100)×7/100＝2×□＋5となります。300×7/100＝21で、21＝2×□＋5となります。□＝(21−5)÷2＝8より、200ｇの食塩水の濃さは、8％でした。
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