2015.12.11配信
絶対に役立つ中学受験専門プロ家庭教師からの必勝アドバイス！
四谷大塚・早稲田アカデミー4･5年生 予習シリーズ算数下 第16回攻略ポイント
＜算数 5年下 第16回 ＞
第16回は『和と差に関する問題』です。つるかめ算の復習と発展問題を学習します。
【攻略ポイント1】
「必修例題1」は、つるかめ算の基本の復習です。まず、豚肉1ｇ、牛肉1ｇの金額を求めておきます。豚肉1ｇの値段は、120円÷100ｇ＝1.2円、牛肉1ｇの値段は、420円÷100ｇ＝4.2円となります。(1)豚肉300ｇと牛肉200ｇでは、1.2×300＋4.2×200＝1200円 で、重さは、300＋200＝500ｇ ですから、1ｇでは、1200÷500＝2.4円 になります。100ｇでは、2.4×100＝240 より、240円です。(2)豚肉をＡｇと牛肉をＢｇ混ぜてひき肉を400ｇにすると考えます。(1.2×A)＋(4.2×B)＝750円で、A＋B＝400ｇと整頓できます。このように、2つの積(かけ算の式)の和と、それぞれのかけ算のかける数の和が与えられた問題はつるかめ算です。解き方は、求めない方にそろえて進めます。この問題では、牛肉を400ｇ買うと考えて、(4.2×400−750)÷(4.2−1.2)＝310 より、豚肉は、310ｇ混ぜればよいことになります。 「必修例題3」では、はじめに持っていたお金を、姉はA円、妹はB円として整頓すると、はじめに持っていたお金は、A＋B＝2700、使ってお金は、A×1/3＋B×2/5＝2700−1700＝1000となります。この形は、「必修例題1」(2)と同じですから、つるかめ算です。姉も、妹の使った2/5を使ったとして考えます。(2700×2/5−1000)÷(2/5−1/3)＝1200 より、はじめに姉が持っていたお金は、1200円です。
【攻略ポイント2】
「必修例題2」まず、15回とも花子さんが勝ったとします。1回勝つと、3＋1＝4段の差がつきますので、4×15＝60 より、花子さんははじめの段から60段上にいます。花子さんが15回勝ちではなく、14回勝って、1回負けたとすると、勝ちが1回減ることにより3段下がり、1回負けることにより1段下がりますので、合わせて4段下がります。また、妹は負けが1回減ったことにより1段上にもどり、1回勝ったことにより3段上がって、合わせて4段上がります。このことから、花子さんが勝った回数を1つ少なくすると、4＋4＝8段近づきます。実際は、差が12段ですので、60−12＝48段近づいています。よって、48÷8＝6 より、花子さんは6回負けたことになります。勝った回数は、15−6＝9回です。
【攻略ポイント3】
「必修例題4」は、条件不足のつるかめ算で、いもづる算ともいいます。ゆりの花をA本、バラの花をB本買います。180×A＋120×B＝1500円となりますが、AとBの和がわかっていません。ここが、条件不足です。いもづる算は、基本的には数をあてはめて考えるのですが、計算しやすくするため、(180×A)、(120×B)、(1500)を共通にわれる数で全体をわって、式を簡単にします。そのために、180、120、1500の最大公約数60でわります。結果、3×A＋2×B＝25という式を考えて、成り立つA、Bを求めます。A＝1、B＝11が見つかります。ここからが、いもづる算といわれるものです。芋(いも)が1つ見つかれば、そのつるを引き出していくと、いくつもの芋が見つかるように、1組のAとBが見つかると、そこから他の組も次々に見つかるという解法です。この問題では、A＝1、B＝11から始めて、そこから3×Aの増える値と、2×Bの減る値が同じであれば、3×Aと2×Bの合計である25は常に一定になることに注目します。そこで、3と2の最小公倍数である6ずつ増減する数の組を考えます。3×Aは、3×1＝3の次は、3×3＝9、3×5＝15、…というように、Aが2ずつ増えていく数、2×Bは2×11＝22、2×8＝16、2×5＝10、…というように、Bが3ずつ減っていく数とすると、合計の25は変わらなくなります。まとめると、Aは2×Bの「2」ずつ増える数、Bは3×Aの「3」ずつ減る数を考えればよいことになります。よって、(A、B)の組は、(1、11)の他に、(3、8)、(5、5)、(7、2)の全部で4通りとなります。
＜算数 4年下 第16回 ＞
第16回は『立方体と直方体(2)』です。立方体・直方体の形やそれぞれの面の形は、予習シリーズ4年上の第14回で学習しました。この学習内容をもとに、今回は、立方体・直方体の表面積や体積を学習します。
【攻略ポイント1】
まず、表面積について学習します。表面積とは、展開図の面積のことです。立方体の表面は同じ大きさの正方形6つでできています。よって，立方体の表面積＝1辺×1辺×6 です。直方体の展開図を考えると、(たての長さ)×(横の長さ)の長方形、(横の長さ×高さの長さ)の長方形、(高さの長さ×たての長さ)の長方形が、それぞれ2つずつあります。よって、直方体の表面積＝(たて×横＋横×高さ＋高さ×たて)×2 となります。
「必修例題1」は、直方体の表面積を求める問題です。たて6cm、横10cm、高さ4cmの直方体ですので、(6×10＋10×4＋4×6)×2＝248 より、表面積は248平方cmです。
「必修例題2」では，直方体から立方体を切り取った立体の表面積を求める問題です。複雑に見える立体の場合、前後、上下、左右の6方向から見える面を考えると，計算しやすくなります。前から見ると、高さ6cm、横9cmの長方形になり、後ろから見た形と同じです。上から見ると，たて8cm，横9cmの長方形になり，下から見た形と同じです。右から見ると、高さ6cm、たて8cmの長方形になり、左から見た形と同じです。まとめると、立方体を切り取る前の、もとの直方体の表面積と同じになります。(6×9＋9×8＋8×6)×2＝348より，この立体の表面積は348平方cmです。
【攻略ポイント2】
次に、体積について学習します。まず、たて、横、高さが、すべて1cmの立方体の体積を1立方cmとして、これをもとにして考えます。この1立方cmの立方体が、たて、横、高さの方向に、何個ずつ積んであるかで、立方体・直方体の体積が決まります。計算すると、たて、横、高さの長さのかけ算の答えと同じになりますので、結局、体積＝(たての長さ)×(横の長さ)×(高さの長さ) で求めることができます。 「必修例題3」は，2つの直方体を組み合わせていますので、それぞれの直方体の体積を求めて、合計します。手前の直方体は、たて4cm、横7cm、高さ(6−2＝)4cmですから、体積は、4×7×4＝112 より、112立方cmです。奥の直方体は、たて3cm、横12cm、高さ6cmですから、3×12×6＝216 より、216立方cm です。よって、112＋216＝328 より、この立体の体積は、328立方cmとなります。
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