2015.11.27配信
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四谷大塚・早稲田アカデミー4･5年生 予習シリーズ算数下 第14回攻略ポイント
＜算数 5年下 第14回 ＞
第14回は『容器と水量(2)』です。容器と水量の基本は、[水の体積＝容器の底面積×水の深さ]です。2つの内容を学習します。1つ目は、比の性質を利用した問題です。(ア)底面積が一定(等しいとき)は、水の体積の比＝水の深さの比。(イ)水の深さが一定(等しいとき)は、水の体積の比＝容器の底面積の比。(ウ)水の体積が一定(等しいとき)は、水の深さの比＝容器の底面積の逆比。これら、(ア)〜(ウ)の性質を考えて問題を解きます。2つ目は、容器の水の中に物体を沈めたときに、水の深さの変化を考える問題です。基本は、[水に沈めた物体の体積＝見かけ上増えた水の体積]です。
【攻略ポイント1】
「必修例題1」まずは基本です。AとBの容器に同じ量の水を入れるのですが、この水の量を1とします。水の深さ＝水の体積÷容器の底面積 ですので、底面積の比は，A：B＝4：3ですから、水の深さの比は、A：B＝1/4：1/3＝3：4と逆比になります。Aの水の深さは12cmですから、12÷3×4＝16より、Bの水の深さは16cmとなります。
「必修例題2」容器の底面積の比は、水の体積(の比)÷水の深さ(の比)で求められます。容器Aにいっぱいに入れた水の5/8を容器Bに移しますから、水の体積の比は、A：B＝(1−5/8)：5/8＝3：5になります。また、水の深さの比は、A：B＝2：5ですので、底面積の比は、A：B＝3/2：5/5＝3：2とわかります。
「必修例題3」(1)は、容器Aと容器Bに等しい量の水を入れ、水の深さがそれぞれ45cm、30cmになりましたので、底面積の比は、A：B＝1/45：1/30＝2：3となります。(2)では、(1)の結果を利用します。Aの底面積を2、容器Aと容器Bに入れた水の量を2×45＝90として進めます。全部で90×2＝180の量の水を3つの容器A、B、Cに分けて入れて、水の深さがどれも20cmになりましたので、底面積の合計は180÷20＝9ということになります。ここで、底面積は、Aは2、Bは3でしたから、Cは9−2−3＝4と求められます。よって、4÷2＝2より、Cの底面積は、Aの底面積の2倍となります。
【攻略ポイント2】
「必修例題4」水の中に物体を沈める問題です。(1) 深さ14cmの水の中に、1辺10cmの立方体を沈めますから、体積が10×10×10＝1000立方cmの立方体がすべて水の中に沈みますので、見かけ上1000立方cmの水が増えたことになります。容器の底面積が200平方cmですので、1000÷200＝5cm 深さが増します。よって、水の深さは14＋5＝19cmになります。(2) 容器の20−14＝6cmの部分200×6＝1200立方cmの分と、こぼれた水150立方cmの分が見かけ上増えた水の体積、つまり沈めた物体の体積です。よって、沈めた物体の体積は1200＋150＝1350立方cmとわかります。
「必修例題5」比を利用して解きます。(1) 底面積50平方cmのおもりが水中に沈みましたので、容器の底面積は250−50＝200平方cmの部分に水があることになります。水の体積は一定ですので、水の深さの比は、底面積の比の逆比になります。底面積の比は、おもりを入れる前と後で、250：200＝5：4ですから、水の深さの比は、1/5：1/4＝4：5となります。おもりを入れる前は10cmでしたから、おもりを入れた後は、10÷4×5＝12.5cmとなります。(2)では、底面積が250−50×2＝150平方cmとなりますので、水の深さの比は、1/250：1/150＝3：5です。10÷3×5＝16・2/3cmと計算されます。ここで、16・2/3cmは、おもりの高さ15cmより深いことに注意してください。つまり、おもりは完全に水中に沈んでいるのですから、16・2/3cmの答えは間違えです。すべて沈んだ問題として、解き直します。50×15×2＝1500立方cmの分、水が増えますから、1500÷250＝6cm 深くなります。よって、10＋6＝16cmが、正しい深さです。
このように、水の中に物体を沈める問題では、水の深さと物体の高さの関係に注意しなければならないことがありますので、問題を注意深く読むことを心がけてください。
【攻略ポイント3】
「必修例題6」は、発想が大切です。予習シリーズの図を見ながら、読み進めてください。(1) (図2)の水面より上の部分を切り取って、水中に沈めると(図3)の状態になる、と考えます。つまり、水面より上の部分の体積 8×8×(12−8)＝256立方cm を水に沈めたことにより、水面が10−8＝2cm 増えたのですから、256÷2＝128平方cm が容器の底面積です。(2) (図3)で考えて、底面積128平方cm、深さ10cmの体積から、おもりの体積を引いたものが水の体積になりますので、128×10−8×8×12＝512より、水の体積は512立方cm です。
＜算数 4年下 第14回 ＞
第14回は『場合の数(1)』です。例えば、A、B、Cの3つの文字を、順序を考えて並べるとき、何通りの並べ方があるかを考えるような問題を、場合の数の問題といいます。この答えは、ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBAの6通りです。場合の数の問題では、もれがなく、重なりがないよう、順序よく考えることが大切です。
【攻略ポイント1】
「必修例題2」では、数字の中に0があること、2が2つあることに注意して考えます。
3けたの数を作るのですが、百の位に0は使えませんので、(ア)まず百の位に1を置く場合を考えます。十の位には、残りの0か2を置くことができます。ここまでで、10□、12□の2通りです。一の位には、10□のときは2、12□のときは0か2(2つ目の2)を置くことができます。よって、102、120、122の3通りができます。(イ)次に百の位に2を置く場合です。十の位には、残りの0か1か2(2つ目の2)を置くことができます。ここまでで、20□、21□、22□の3通りです。一の位には、20□のときは1か2(2つ目の2)、21□のときは0か2(2つ目の2)、22□のときは0か1を置くことができます。よって、201、201、210、212、220、221の6通りができます。(ア)と(イ)より、3けたの整数は(3＋6＝)9 通り作ることができます。
「必修例題4」では、3けたの偶数を作ることが条件となります。偶数は、一の位に偶数を置くことでできます。よって、一の位からカードを置いていきます。(ア)まず、一の位に0を置きます。百の位には、1、2、3のどのカードを置いてもよいので、1□0、2□0、3□0の3通りとなります。十の位には、1□0の場合には2か3、2□0の場合には1か3、3□0の場合には1か2のそれぞれ2つずつ置くことができます。よって、3×2＝6通り作ることができます。(イ)一の位に2を置く場合には、残りの0、1、3のうち、百の位に0は置くことができないので、1□2、3□2の2通りとなります。十の位には、1□2の場合には0か3、3□2の場合には0か1のそれぞれ2つずつ置くことができます。よって、2×2＝4通り作ることができます。(ア)と(イ)より、3けたの偶数は(6＋4＝)10通りできます。
【攻略ポイント2】
「必修例題3」は、兄、私、妹の3人の並び方の問題です。基本的には数を並べる場合と同様です。(1) 兄を左はしにして並べていくと、「兄・私・妹」か、「兄・妹・私」かの2通りできます。(2) 私を左はしにして並べていくと、「私・兄・妹」か、「私・妹・兄」かの2通り。妹を左はしにして並べていくと、「妹・兄・私」か、「妹・私・兄」かの2通り。よって、(1)の兄を左はしにする2通りもふくめて、2×3＝6通りできます。(2)のように、誰が右はしにきても場合の数が同じになる、つまり「並べ方の条件が等しい場合」には、「かけ算を使うことができる」ということに、注意しておいてください。
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