2008.06.06 配信
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『受験算数の最重要分野「速さと比」の解法の軸を作る』
今回は、受験算数の最大のテーマである「速さと比」の解法について考えます。この分野は受験算数の中で一番ボリュームがあり、問題パターンや解法も非常に多岐にわたります。そこで、様々な解法の出発点として、軸となる2つの考え方、公式を取り上げてみます。
【問題1】
A君は普段は7時50分に家を出て分速50mで歩き、始業時刻の6分前に学校に着きます。ある日A君は寝坊してしまい、家を出るのが8時2分になったため、分速75mで歩いて始業時刻の2分前に学校に着きました。この学校の始業時刻は何時何分ですか。
【解説】
これは、「進む距離が一定であれば、速さの比と所要時間の比は逆になる」ということを利用する典型的な問題です。
その前に、まずは2種類の速さで歩いた場合の所要時間をまとめておきましょう。
- ・普段 7時50分に出発して始業時刻の6分前に到着
- ・この日 8時2分に出発して始業時刻の2分前に到着
この日はいつもよりも12分遅く出発したにもかかわらず、到着時刻は4分しか遅くなっていない。つまり、所要時間を比べると、この日は普段よりも8分短かった。
次に、この問題のメインテーマである「速さと時間は逆比」を使います。家から学校までの距離はどの日でも同じですから、「遅く歩けばたくさん時間がかかり（速さ小⇒時間大）、速く歩けば短い時間で着く（速さ大⇒時間小）」わけです。つまり、「進む距離が同じであれば、速さの比と所要時間の比は逆」なのです。
- ・速さは、普段：この日＝50：75＝2:3
- ・ということは所要時間は（3）：（2）はず。
- →所要時間の差＝（1）＝8分
- →普段の所要時間＝(3)＝24分、この日の所要時間＝（2）＝16分 とわかります。
- 7時50分の24分後＝8時14分（普段はこの時刻に学校に着く）
- 8時14分の6分後＝8時20分
Ａ. 8時20分
【問題2】
太郎君はA地から、次郎君はＢ地から、向かい合って同時に出発しました。太郎君は出発してから12分後にＣ地で次郎君とすれ違い、その9分後にＢ地に着きました。次郎君がＡ地に到着するのは、Ｂ地を出発してから何分後ですか。（もちろん、二人はそれぞれ一定の速さで休まずに歩き続けるものとします。）
【解説】
まずは太郎君の視点に立ち、「Ａ地〜Ｃ地、Ｃ地〜Ｂ地」の間の距離の関係を考えます。太郎君はずっと一定の速さで歩き続けているのですから、「たくさん時間がかかった⇒距離が長い、少しの時間でついた⇒距離が短い」という関係が成り立ちます。あえて公式化するなら「同じ速さの人であれば、所要時間の比と進んだ距離の比は等しい」と言えます。つまり
- ・太郎君は、Ａ〜Ｃは12分かかり、Ｃ〜Ｂは9分かかった。
- ・ということは、Ａ〜ＣとＣ〜Ｂの距離の比は4：3である。
- Ａ地 〜 （4） 〜 Ｃ地 〜 （3） 〜 Ｂ地 ということがわかります。
次に、この距離の比を使って「太郎君と次郎君の速さの比」を考えます。
- ・太郎君は12分で（4）の距離を進んだ。
- ・次郎君は同じ12分で（3）の距離しか進んでいない。
- →太郎君のほうが速い。 →二人の速さの比は、太郎君：次郎君＝4：3である。
Ａ. 28分後
いかがでしたでしょうか。 速さと比の問題は多くの受験生を悩ませますが、ここに挙げた2つの公式、すなわち「進む距離が同じであれば、速さの比と所要時間の比は逆になる」と「同じ速さの人であれば、所要時間の比と進んだ距離の比は等しい」をきちんと使えるようになれば、解ける問題の数は一気に増えるのです。しかし、この公式を「きちんと理解」できている受験生は、この時期にはまだまだ少ないのが現状です。様々な解法の手始めにまずはこの2つを身につけましょう。その後、様々なパターンの問題を解いていけば、効率的にそれぞれの解法を理解し、身につけることができるようになります！頑張ってください！！
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