鉄人の一通入魂

 中学受験鉄人会が毎週お届けしておりますメールマガジン
『 鉄人の一通入魂』のバックナンバーです。

2017.12.13配信
絶対に役立つ中学受験専門プロ家庭教師からの必勝アドバイス!
四谷大塚・早稲田アカデミー4・5年生 予習シリーズ算数下 第16回攻略ポイント

<算数 5年下 第16回 >

第16回は『和と差に関する問題』です。つるかめ算の発展的な問題と年齢算を学習します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、条件不足のつるかめ算で、いもづる算ともいいます。
1本180円のユリの花と1本120円のバラの花を、代金の合計が1500円になるように買います。ゆりの花をA本、バラの花をB本買うとして、整頓すると、180×A+120×B=1500円となります。AとBの和がわかっていません。ここが、つるかめ算で解くには条件不足となります。いもづる算は、基本的には数をあてはめて考えるのですが、計算しやすくするため、(180×A)、(120×B)、(1500)を共通にわれる数で全体をわって、式を簡単にします。そのために、180、120、1500の最大公約数60でわります。結果、3×A+2×B=25という式を考えて、成り立つA、Bを求めます。A=1、B=11が見つかります。ここからが、いもづる算といわれるものです。芋(いも)が1つ見つかれば、そのつるを引き出していくと、いくつもの芋が見つかるように、1組のAとBが見つかると、そこから他の組も次々に見つかるという解法です。この問題では、A=1、B=11から始めて、そこから3×Aの増える値と、2×Bの減る値が同じであれば、3×Aと2×Bの合計である25は常に一定になることに注目します。そこで、3と2の最小公倍数である6ずつ増減する数の組を考えます。3×Aは、3×1=3の次は、3×3=9、3×5=15、…というように、Aが2ずつ増えていく数、2×Bは2×11=22、2×8=16、2×5=10、…というように、Bが3ずつ減っていく数とすると、合計の25は変わらなくなります。 まとめると、Aは2×Bの「2」ずつ増える数、Bは3×Aの「3」ずつ減る数を考えればよいことになります。よって、(A、B)の組は、(1、11)の他に、(3、8)、(5、5)、(7、2)の全部で4通りとなります。

「必修例題2」は、3種類のつるかめ算です。解き方が2通りあります。
1個の値段がそれぞれ60円、90円、110円である3種類の品物A、B、Cを合わせて36個買い、代金の合計が3060円になるようにします。

  1. AとBの個数を1:2の割合にする、という条件より、「Aを1個とBを2個」を1組として買うと、代金は、60×1+90×2=240円です。この代金を1+2=3個で割った、240÷3=80円は、Aを1個とBを2個の割合で買った時の平均の値段になり、この1個80円の品物をDとします。品物Cの買った個数をc個、品物Dの買った個数(品物AとBの個数の合計)をd個として、整頓すると、110×c+80×d=3060で、c+d=36ということになります。ここで、品物Cと品物Dについてのつるかめ算を解いて、dの個数を求めます。(110×36−3060)÷(110−80)=30より、dは30個です。よって、30÷(1+2)×2=20より、品物Bは20個にすればよいことになります。
  2. 個数についての条件がない場合には、次のように考えていきます。最も安いAを36個買います。すると、実際よりも、3060−2160=900円安くなっています。ここから、A1個とB1個を交換すると、90−60=30円増えます。また、A1個をC1個と交換すると、110−60=50円増えます。AとBをx個交換し、AとCをy個交換して、900円にすればよいわけです。まとめると、30×x+50×y=900を解くことになります。簡単にして、3×x+5×y=90をいもづる算で解きます。(x、y)の組は、(30、0)が見つかります。xは5ずつ減らし、yは3ずつ増やして、組を作っていきますと、(25、3)、(20、6)、(15、9)、(10、12)、(5、15)、(0、18)となりますが、(30、0)と(0、18)は、xやyが0ですので、あてはまりません(1個は買うという条件に合わない)。よって、5通りです。予習シリーズ153ページの解き方にある表を参照してください。
【攻略ポイント2】

年令算について、学習します。年令算では、登場人物の間の年令の差は、いつも変わらないということがポイントになります。

「必修例題3」は、父と私の年令について考える問題です。
 現在、父と私の年令の和は44才で、2年後に父の年令が私の年令の3倍になります。予習シリーズ154ページの解き方にある線分図を参照してください。

  1. 2年後には、2人とも2才年をとっていますから、父と私の年令の和は、44+2×2=48才です。このとき、私は、48÷(3+1)=12才です。よって、12−2=10より、現在の私は、10才です
  2. 現在の父は、44−10=34才で、2人の年令の差は、34−10=24才です。この差は、何年か前も同じです。よって、24÷(5−1)=6より、私が6才のときです。したがって、10−6=4より、今から4年前です。

「必修例題4」は、登場人物が5人の年令算の問題です。
 現在の、4人家族の年令の和は、101才で、6年前には祖母もいて、年令の和は145才でした。

  1. 4人家族の、6年前の年令の和は、101−6×4=77才でした。祖母を入れた5人の年令の和は145才ですから、145−77=68より、6年前の祖母の年令は、68才です。
  2. 現在、祖母もいれば、68+6=74才で、祖母も入れた5人の年令の和は、101+74=175才です。10年前の妹をのぞく、4人の和は127才ですから、この4人が10才ずつ年をとると、127+10×4=167才になります。よって、175−167=8より、現在の妹の年令は、8才です。

<算数 4年下 第16回 >

第16回は『立方体と直方体(2)』です。立方体・直方体の形やそれぞれの面の形は、予習シリーズ4年上の第14回で学習しました。この学習内容をもとに、今回は、立方体・直方体の表面積や体積を学習します。

【攻略ポイント1】

まず、表面積について学習します。表面積とは、展開図(立体を辺にそって切り開いた図)の面積のことです。立方体の表面は同じ大きさの正方形6つでできています。よって,立方体の表面積=1辺×1辺×6 です。直方体の展開図を考えると、(たての長さ)×(横の長さ)の長方形、(横の長さ×高さの長さ)の長方形、(高さの長さ×たての長さ)の長方形が、それぞれ2つずつあります。よって、直方体の表面積=(たて×横+横×高さ+高さ×たて)×2 となります。

「必修例題1」は、直方体の表面積を求める問題です。
たて6cm、横10cm、高さ4cmの直方体ですので、(6×10+10×4+4×6)×2=248 より、表面積は248平方cmです。

「必修例題2」は,直方体から立方体を切り取った立体の表面積を求める問題です。
複雑に見える立体の場合、前後、上下、左右の6方向から見える面を考えると,計算しやすくなります。
前から見ると、へこんでいる部分を合わせて、高さ6cm、横9cmの長方形になり、後ろから見た形と同じです。上から見ると,同じくへこんでいる部分を合わせて、たて8cm,横9cmの長方形になり,下から見た形と同じです。右から見ると、同じくへこんでいる部分を合わせて、高さ6cm、たて8cmの長方形になり、左から見た形と同じです。予習シリーズ122ページ必修例題2の解き方にある図を参照してください。
まとめると、立方体を切り取る前の、もとの直方体の表面積と同じになります。よって、(6×9+9×8+8×6)×2=348より,この立体の表面積は348平方cmです。

【攻略ポイント2】

体積について学習します。まず、たて、横、高さが、すべて1cmの立方体の体積を1立方cmとして、これをもとにして考えます。この1立方cmの立方体が、たて、横、高さの方向に、何個ずつ積んであるかで、立方体・直方体の体積が決まります。計算すると、たて、横、高さの長さのかけ算の答えと同じになりますので、結局、直方体の体積=(たての長さ)×(横の長さ)×(高さの長さ) で求めることができます。

「必修例題3」は,2つの直方体を組み合わせた立体の体積を求める問題です
それぞれの直方体の体積を求めて、合計します。手前の直方体は、たて4cm、横7cm、高さ(6−2=)4cmですから、体積は、4×7×4=112 より、112立方cmです。奥の直方体は、たて3cm、横12cm、高さ6cmですから、3×12×6=216 より、216立方cm です。よって、112+216=328 より、この立体の体積は、328立方cmとなります。

「必修例題4」も、2つの直方体を組み合わせた立体の体積を求める問題です。
 この問題は、底面積(たて×横)に高さをかけて体積を求める方法で解いてみましょう。予習シリーズ123ページ必修例題4の前にある考え方を参照してください。
 横の長さ6cmと8cmのところで切り分けて、左右の底面積を求めます。左の直方体の底面積は、たて10cm、横6cmですから、10×6=60平方cmです。右の直方体の底面積は、たて10−7=3cm、横14−6=8cmですから、3×8=24平方cmです。高さは、左右のどちらの直方体も8cmですから、(60+24)×8=672より、体積は、675立方cmです。

われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100%合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。

パパとママの勉強部屋
中学受験の模試について
中学受験塾の分析とアドバイス
必勝アドバイス
SAPIX 4年生組分けテスト予想問題 SAPIX 5年生組分けテスト予想問題 SAPIX 5年生組分けテスト/算数攻略ポイント
中学受験鉄人会 資料請求
中学受験鉄人会 公式Facebook はじめました。
中学受験鉄人会への喜びの声 学校別攻略法:現役スーパープロ家庭教師による中学校別攻略法 中学受験鉄人会家庭教師募集

twinavi

Twitterの総合ナビゲーションサイト
»詳しくはこちらをクリック