鉄人の一通入魂

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2015.10.13配信
絶対に役立つ中学受験専門プロ家庭教師からの必勝アドバイス!
四谷大塚・早稲田アカデミー4・5年生 予習シリーズ算数下 第8回攻略ポイント

<算数 5年下 第8回 >

第8回は『平面図形と比(3)』です。三角形の相似を利用して、長さの比や、その長さの比を底辺の比として、面積比に利用する問題を学習します。第3回で学習した、平行線を使ったピラミッド型やクロス型の相似を見つけることがカギになります。また、太陽の光や街灯の光による影の長さの問題も三角形の相似を利用して考えます。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」の図では、クロス型の相似な三角形が1組あります。(1)この三角形AEDと三角形FEBの相似を利用して、AE:EFはAD:FBと等しく、(10+5):10=3:2と求められます。(2) 四角形EFCDの面積は、三角形BCDの面積から三角形BFEの面積を引いて求めます。三角形BCD=15×12÷2=90です。三角形BFEの面積は、三角形ABFの面積を(1)の結果を利用して、比例配分することから求めます。三角形ABF=12×10÷2=60で、三角形BFE=60÷(3+2)×2=24となります。よって、90−24=66が四角形EFCDの面積です。

【攻略ポイント2】

「必修例題3」では、EGとGCをそれぞれ1辺にもつ相似な三角形がありません。そこで、そのような相似な三角形を自分で作る (補助線を引く) 作業からスタートします。この補助線は、すでにある線と平行になる線を引くということです。Eを通り、辺ADに平行な線を引いて、BFとの交点をHとします。ここに、相似な三角形EGHと三角形CGBができましたので、EG:GCはEH:CBと等しくなります。また、三角形AFBと三角形EHBも相似になりますので、EHの長さはAFの長さの半分であることがわかります。(1)AD=BC=5とすると、AF=4となり、EH=2となります。よって、EG:GC=2:5です。(2)三角形EBCの面積をEG:GCの比に比例配分して求めます。ここで、三角形EBCの面積は四角形ABCDの面積の半分である三角形ABCのまた半分ですので、56÷2÷2=14です。よって、三角形GBC=14÷(2+5)×5=10となります。

【攻略ポイント3】

「必修例題5」の太陽光による影の問題では、文章中に必ず、棒の長さと影の長さが与えられます。この棒の長さと影の長さによる三角形、問題中の木の長さと影の長さによる三角形を、相似な三角形として相似の問題を解いていきます。ただし、木の長さと影の長さについては、へいにできた木の影の先端から木に垂直な線を引いた三角形を考えることが ポイントになります。
 「必修例題6」の街灯光による影の問題では、必修例題5と同じように、人の身長の先端から街灯に垂直な線を引いた三角形を考え、この三角形と人の身長と影の長さによる三角形の相似を考えて問題を解いていきます。

<算数 4年下 第8回 >

第8回は『分数(2)』です。分数どうしの大小をくらべたり、分数どうしの加減をする場合に必要な、通分や約分の仕方を学習します。分母が同じ分数では、分子が大きくなれば分数は大きくなる、ということはおわかりですね。ですから、分母の異なった分数を分母の同じ分数にして考えます。このために必要なことが、通分という作業です。また、分数の大きさを考える上で、分子・分母をなるべく簡単な数で表すことも大切です。この作業が約分です。これらの通分・約分の作業では、「分数の分子・分母に0でない同じ数をかけても、0でない同じ数でわっても分数の大きさは変わらない」という重要な性質を利用します。

【攻略ポイント1】※帯分数について、「1と2/3」は「1・2/3」と表記します。

「必修例題2」は異分母の加減です。異なる分母の数の最小公倍数を新しい分母として、同分母の加減を行います。(1)分母3と2の最小公倍数である6を新しい分母として通分します。整数部分はそのままで、分数部分を2/3=4/6、1/2=3/6として、整数部分の和は5+3=8、分数部分の和は、4/6+3/6=7/6=1・1/6になりますので、8+1・1/6=9・1/6が答えです。(2)分母6と15の最小公倍数30を新しい分母として通分します。分数部分は、5/30、14/30となりますので、引けません。そこで整数部分から1を繰り下げます。つまり、3・5/30=2・35/60とします。そして,引き算です。整数部分の差は、2−1=1、分数部分の差は35/30−14/30=21/30ですが、約分ができますので、21/30=7/10となります。答えは、1・7/10です。ポイントを整理しますと、通分後の分数の加減では、整数部分・分数部分は別々に加減する。引き算では、繰り下がりに注意する。答えは既約分数(これ以上約分できない分数)で答える、となります。

【攻略ポイント2】

「必修例題3」でも、分母をそろえる(=通分する)ことが解法のコツです。(1)問題内容を整頓すると、(□+5)/48=5/8ですから、通分して5/8=30/48とすると、分子部分は□+5=30となりますので、□=25とわかります。(2)では、約分後の分子・分母の和が13になるのですから、91÷13=7で約分したことがわかります。よって、もとの分子は(4×7)、分母は(9×7)です。つまり、28/63となります。

【攻略ポイント3】

分数、小数の混じった問題では、小数を分数に直します。直し方は0.1=1/10、0.01=1/100、0.001=1/1000、などを利用します。例えば、2.34=0.01×234ですので、(1/100)×234=234/100=2・34/100となります。ここで、約分できる場合は約分しますので,2・17/50とします。「必修例題4」の大小くらべでは、分数で通分するところですが、3つの分数の通分はなかなか難しいものです。この場合は、すべて小数に直すことも一つの考え方です。分数を小数に直す場合、分子÷分母をします。ここでは、割り切る必要はなく、他とくらべて、大小がわかればよいのです。

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