鉄人の一通入魂

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2018.10.26配信
絶対に役立つ中学受験専門プロ家庭教師からの必勝アドバイス!
予想問題付き!サピックス5年生11月12日(月)マンスリーテストの攻略ポイントベスト5を発表します!

今回のマンスリーテストは、「通過算」「旅人算、流水算、時計算、通過算の復習」「仕事算」「倍数算」「相当算」といった速さ、割合の重要単元が多く含まれます。いずれも入試でも頻出の単元になりますので、今の時期から理解が曖昧にならないように、基本を固めておくことがとても大事になります。
 そこで今回は、11月度マンスリーテスト対策について、ぜひ気をつけて頂きたいポイントを、第5位から第1位までのランキングのかたちでご紹介します。 このランキングを参考に重要単元の理解をしっかり固めて、ぜひ万全の構えでマンスリーテストに臨んでください!

また、攻略ポイントだけでなく予想問題付きです。過去問を分析し最も出題される可能性が高い問題を揃えてあります。解説も準備しますので、間違えた箇所はとくに読み込んで本番で同じ間違いをしないように注意してください。問題は11/2(金)のお昼ごろ 鉄人会のHPにアップ致します。アップが完了しましたら、メルマガ、フェイスブック、ツイッターでもお知らせ致しますので、ぜひ鉄人会のフェイスブック、ツイッターもフォローしてください!

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それではランキングの発表です。まずは第5位からです!

【第5位 相当算:問題文にある分数をそのまま使ってしまってはいませんか?】

問題文に分数が出てくる問題でも、できるだけ分数を使わないようにすることがポイントです。次の問題をサンプルにしましょう。

「1本のひもを太郎君、次郎君、三郎君の3人で分けることにしました。まず太郎君が全体の2/5より9cm長く取り、次に次郎君が残りの3/4より16cm短く取り、最後に三郎君が残りの1/2より17cm長くとったところ、ちょうどひもがなくなりました。分ける前のひもの長さは何cmでしたか」

いくつもの段階があり、また分数が多く出てきますので、少しうんざりしてしまうこともあるかもしれません。そこは我慢なのですが、少しでもその気持ちを軽くし、また間違いを減らすためにも、分数をできるだけ使わない方法で進めてみましょう。
 こうしたタイプの問題では話の最後からさかのぼって解いていく、という前提をまずしっかり理解しましょう。最後17cmからひとつひとつさかのぼって、はじめの長さに行きつくのです。 まず、三郎君が残りの1/2より17cm長く取る、とあります。この「残り」という言葉に惑わされないことです。その回ごとに長さを求めていけばよいので、ひとつ前に次郎君が取った残りの長さを全体とします。そこで全体を1とはせずに、1/2とありますので、全体をサンカク2にしてしまいましょう。するとサンカク1を取った残りが17cmなので、サンカク2は17×2=34(cm)と求められます。次に太郎君が取った残りの3/4とありますから、全体をシカク4として、シカク3より16cm短く使った残りがサンカク2の34cmなので、(34−16=)18cmがシカク1にあたります。よってシカク4は18×4=72(cm)となります。最後に、太郎君がひも全体の2/5より9cm長く取った残りが72cmにあたりますので、ひも全体をマル5として、マル3が9+72=81(cm)となることから、81÷3×5=135より、分ける前のひもの長さが135cmと求められます。
 文章にすると長くなりますが式そのものはとても簡単なものです。この一連を分数で進めようとすると、間違いが多くなる可能性が高くなってしまいます。また、混乱しないように、必ず段階ごとに線分図をかいて、長さを視覚的に把握できるようにしてください。

分数はできるだけ使わない、としてきましたが、相当算の中にはもちろん分数を使う方が解きやすい問題もあります。その代表が「ボールのはね上がり」です。ボールを落とす高さと、ボールがはね上がる高さの割合が一定になるという問題です。この場合、その同じ分数で解いていく方が有利になることがあります。
 例えば次のような問題、「ボールを1mの高さから落としたところ、2回目にはね上がった高さは36cmでした。このボールの落とした高さに対するはね上がる高さの割合を求めなさい」 ここで2回はねあがるまでには、はじめの高さから割合を2回かけ合わせることになります。つまり1m=100cmから100×○/△×○/△=36となります。ここで○/△×○/△=36/100=9/25です。こうなると、答えは目の前に見えてきます。2つの数をかけ合わせた数(平方数)が9、25となる数は3、5とわかりますので、○/△を3/5と導き出すことができるのです。このタイプで分数を使わないで、としてしまうと逆に混乱してしまいます。問題のタイプに応じて、より解きやすい方法があることを確かめましょう。

【第4位 倍数算(差が一定&和が一定):線分図のかき方の違いを理解できていますか?】

差が一定というのは、「同じ金額を2人が受け取った」あるいは「同じ金額を2人が使った」といった変化があった後で、2人の量の差が変わらず、比が変化するタイプの問題です。具体的には次のような問題になります。

「春子さんは1100円、夏子さんは800円持っていました。2人とも同じ値段の本を1冊ずつ買ったところ、春子さんの所持金は夏子さんの所持金の3倍になりました。2人が買った本1冊の値段は何円ですか」

倍数算では線分図をかくことが必須になります。そこでまずお子さんにヒントなしで線分図をかかせてみてください。1100円、800円の2本の直線をかいた後に、そこから線が短くなるかたちで使った金額をかき入れるお子さんが多いかもしれません。そこで2本の直線の差を考えると、その図が少し見づらいことにお子さんは気づくでしょう。このタイプの問題では、2本の直線の基点(そろっているところ)から、量が増える場合は線が伸びる方向と逆に線を加え、減る場合には伸びる方向と同じ方に線を減らす、という方法で進めてみましょう。すると、もとからあった1100円と800円の差がそのまま変わらないことに気づくはずです。
 上記の問題であれば、その線分図から1100−800=300(円)が、夏子さんの所持金の(3−1=)2倍であることがわかります。300÷2=150(円)が本を買った後の夏子さんの所持金ですので、800−150=650より、本1冊の値段が650円と求められます。

和が一定は、次のようなタイプの問題になります。

「はじめ、兄と妹の所持金の比は7:5でした。兄が妹に800円をあげたところ、2人の所持金の比は3:5になりました。現在の兄の所持金は何円ですか」

ここでも線分図をかくことがポイントになりますが、差が一定のパターンよりも、図はかきやすいかもしれません。大事なのは、2人の量を表す直線を上下にかくのではなく、2本をつなげて1本にする、ということです。やりとりの前後で全体量は変わりませんので、つなげた1本の長さも変わらなくなります。
 まず1本の直線を7:5に分ける点を記します。やりとりがあった後の直線も1本のかたちで、既存の線の下にかきます。そこから上の線(変化の前)の7の分から700円減ったところに点をとり、その点から垂直に下の線にぶつけると、そこが直線を3:5にわける点になります。そこからは7+5=12と3+5=8の最小公倍数である24に数値を合わせ、上の線が14:10、下の線が9:15となるので、比の5が800円にあたる、とわかります。比の1を800÷5=160(円)としてから、最後に何を求めるのかに注意してください。この問題では、現在の兄の所持金ですので、比の9にあたる値を求めます。160×9=1440より、答えは1440円となります。
 それぞれの図のかき方にしっかり慣れること、最後に求めるものを間違わないように注意することが重要です。

【第3位 倍数算(和も差も変化する):消去算の解き方を活用すると解きやすくなります!】

倍数算の中では最もやりづらいタイプの問題です。ここでは、消去算の解き方を活用することが有効です。例題を挙げてみましょう。

「はじめ、A君とB君の所持金の比は3:7でしたが、A君が400円使い、B君は720円もらったので、B君の所持金はA君の所持金の3倍になりました。B君の所持金はいくらになりましたか」

線分図をかくことはやはり必須です。A君の所持金とB君の所持金の比が3:7になるように上下に線をひき、そこからA君は400円分短くなり、B君は720円分を足して、できあがった直線の長さの比が1:3になる、というところまではしっかり図にしましょう。
 ここから、新しくできた比の1:3の最小公倍数3の倍数に2本の線分の長さをそろえて、新しい線分図をかく、という方法で進めるケースが多く見られます。もちろんその方法でも解きやすくはあるのですが、新しくできる線分の値が大きいため、図をかきづらく感じてしまうかもしれません。
 そこで、ここからは消去算で解く方法をご紹介します。

はじめの2本の線分の長さをマル3とマル7、後からできた線分の長さをシカク1とシカク3とします。すると以下のような2つの式ができます。

  • シカク1=マル3−400
  • シカク3=マル7+720

ここで消去算の考え方で、シカクを3に統一すると、

  • シカク3=マル9−1200
  • シカク3=マル7+720

上下の式をよく見比べると、マル9とマル7の差であるマル2が1200と720の和になります。ここから
マル1=(1200+720)÷2=960と求められます。

最後に何を求めるべきなのか、必ず確認するようにしてください。この問題では現在のB君の所持金ですので、マル7+720が該当します。960×7+720=7440より、答えは7440円となります。

3にそろえるという意味では線分図を拡大することと同じですが、数値の大きな線分図を意外とかきづらく感じるお子さんもいらっしゃいますので、そんなときにはこの方法をぜひ取り入れてみてください。

【第2位 仕事算:仕事算でも面積図を使うと解きやすくなります!】

面積図といえば、割合の問題の中でも食塩水の濃度の問題や、平均の問題を解く際に効果を発揮すると思われることが多いですが、実は仕事算でも抜群の効果を発揮するのです。 例えば、次のようなタイプの問題です。

「A君なら15日で、B君なら24日で仕上げる仕事があります。この仕事を2人でいっしょに始めましたが、途中でB君が何日か休んだため、この仕事を仕上げるのにちょうど10日かかりました。このとき、A君が1人で仕事をしたのは全部で何日ですか」

つるかめ算で解く方法もありますが、ここで面積図を使った解法をご説明します。
 まずは、複雑な分数計算にならないように、全体の仕事量を15と24の最小公倍数である120とします。A君の1日当たりの仕事量は120÷15=8、B君の1日当たりの仕事量は120÷24=5となります。
 ここから図を使って進めます。まず、最後まで休まずに仕事をしたA君の仕事量を長方形に表します。たての長さを1日あたりの仕事量、横の長さを日数とすることで、仕事量を長方形の面積で表すことができます。A君の仕事量はたての長さが8、横の長さが10(日)より、8×10=80となります。
 次に、B君の仕事量を表す長方形を、A君の仕事量を表した長方形の上に乗せるかたちでかきます。たての長さは5ですが、B君が何日仕事をしたのかわかりませんので、横の長さはわかりません。ただ、B君は何日か休みましたので、A君の10日よりは当然短くなります。そこで、B君の長方形を、A君の長方形とたての辺が左端でつながるように上に乗せてみましょう。階段のようなかたちになりますが、この横の長さの差が、B君が休んだ日数、つまりA君が1人で仕事をした日数になることを把握しておきましょう。求めるべき値を視覚的にイメージできるメリットがここにあります。
 あとは計算です。全体の仕事量が120、A君1人の仕事量が80ですので、B君1人の仕事量は120−80=40、となります。この40が、B君の仕事量を表す上部の長方形の面積ですので、40÷5=8より、上部の長方形の横の長さが8とわかります。よって、A君が1人で仕事をした日数は10−8=2(日)と求めることができるのです。

仕事算の範囲では以下のようなタイプの問題もあります。

「花子さんの所持金で、りんごだけを買うとちょうど18個、みかんだけを買うとちょうど30個買うことができます。花子さんはこの所持金のうち9割しか使うことができないものとすると、りんごを12個買ったあと、みかんを何個買うことができますか」

一見するとややこしそうですが、所持金を18と30の最小公倍数である90とおくと、りんごの単価が90÷18=5より5、みかんの単価が90÷30=3より3となり、一気に解きやすくなります。所持金90の9割しか使うことができず、そこからりんごを12個買ったのですから、残りのお金は、90×0.9−5×12=21となり、みかんを買うことができる個数は、21÷3=7から7個と導き出せます。問題の内容をしっかり読めば決して難しい問題ではありません。

【第1位 通過算:状況を比べやすくするような図のかき方ができていますか?】

この単元では、列車などの動くものに「長さ」があることで問題を難しく感じてしまう受験生が多いです。その点を克服するためには、動く列車や電車の先頭に人がいる、あるいはランプがある、としてその点(人も点とみなします)の動きで考えることが効果的です。点の動きとして見れば、鉄橋やトンネルを通過する場合でも、動く列車を追い抜く場合でも、動く距離の合計をより簡単に導き出すことができます。
 気をつけるのは、通過するものの長さが変化するよう次のようなパターンです。例えば、次のような問題です。

「トンネルAの長さは、トンネルBの長さのちょうど3倍です。長さ180mの列車が、トンネルAを通りに抜けるのに45秒かかり、トンネルBを通り抜けるのに21秒かかりました。トンネルAの長さは何mですか」

まず、トンネルAの長さを出すために何が必要になるでしょうか。列車の長さはわかっていて、トンネルAを通過する時間もわかっています。あとは列車の速さがわかれば、一気に正解に近づきます。

この問題の状況を正確に把握するために、図を活用するのですが、ここで注意すべきことがあります。まず親御さんが何も言わずにお子さんにこの問題を解くための図をかかせてみてください。おそらく多くのお子さんがトンネルに電車が入る始点をそろえてかくと思われます。電車がトンネルを通過し終わった時点で電車の先頭の位置が異なる図になります。もちろんその図でも、同じ電車の長さを削除して、トンネルの長さの差が時間の差にあたる、と考えることもできますが、よりわかりやすい図のかき方があります。
 それは動きの終点である、電車がトンネルを通過したときの電車の先頭を上下そろえてかく、という方法です。このかき方をすると、トンネルに電車が入る時点に差が生まれますが、トンネルの長さの差が視覚的に把握しやすくなるというメリットがあります。
 この問題では、まず上にトンネルAと列車がつながった図、その下に、トンネルを通過した列車の先頭がそろうようにして、トンネルBと列車がつながった図をかきます。 ここに、問題を解くための数値を記入して行きます。まずトンネルAの長さをマル3、トンネルBの長さをマル1として、2つのトンネルの長さの関係を表します。次に、上の図の右端に45秒、下の図の同じような位置に21秒とかき入れます。それぞれ通過にかかった時間です。
 これで図は完成です。後は上下の図をよく見比べてみてください。トンネルの長さマル2の分の時間の差が、45−21=24(秒)にあたることがわかるでしょう。マル1、つまりトンネルAの長さを列車が24÷2=12(秒)かかって進むことになります。よって列車の長さ180m分は、21−12=9(秒)で進むことから列車の速さが180÷9=20より、毎秒20mであることがわかるのです。あとは、20×45−180=720の式から、トンネルAの長さが720mと求められます。
 通過算では、図をかかなければ状況がとてもわかりづらくなってしまいます。まずは基本のかたちから、図をかく練習をしっかり重ねておきましょう。

上記の問題は通過するものの長さが変化するタイプの問題でしたが、列車や電車の速さが変化する問題もあります。以下のような問題です。

「長さ245mの電車が、長さ175mの列車に追いついてから追いこすまでに35秒かかりました。もし、列車が30%だけ速ければ、電車が列車に追いついてから追いこすまでに56秒かかります。電車の速さは時速何kmですか」

通過算に追いこしの考え方が含まれ、さらに速さが変化するという、かなり複雑に見えるものですが、やり方をしっかり理解して、練習を積んで慣れを身につければ、取り組みやすくなるタイプの問題です。 

まずは問題で与えられている、数値のわかっているものが何かを整理してゆきます。今回は電車と列車、動く主体が2つ出てきます。その2つの主体の長さはわかっています。また、速さが変わる前と変わる後、2つの状況での時間もわかっています。そこから主体の速さを出す、という問題になります。
 2つの状況をそれぞれ式にしてゆきます。主体に長さがある通過算では、人が追いついたり出会ったりする旅人算とは、長さの考え方が変わってきますが、「追いつく場合は速さの差」「出会う場合は速さの和」を使うことは同じになります。この問題では、電車が列車に追いつき追いこすので、「速さの差」を使うことになります。
 列車の速さが速くなる前は、(245+175)÷35=12より、電車と列車に秒速12mの差があります。また列車が30%速くなった場合は、(245+175)÷56=7.5より、電車と列車の速度差が、秒速7.5mであることがわかります。
 ここからは消去算の考え方に近くなります。電車の速さを(デ)、列車の速さを(レ)とすると、(デ)−(レ)=12、(デ)−(レ)×1.3=7.5となります。ここで注意して頂きたいのですが、中学数学の連立方程式の考え方ですと、上記の式から(デ)を消去すべく、2つの式をひき算することで(レ)×0.3=12−7.5となるのですが、マイナスの概念がない小学生には、そのひき算が難しく感じられます。
 そこで、線分図を使った方法をご紹介します。まず適当な長さの線分をひいて、その長さを(デ)とします。そこから(レ)の長さ(こちらも適当で構いません)の分だけ短くした部分が12となります。これで(デ)−(レ)=12の式を図にすることができました。その下に同じ(デ)の長さ線分をひいて、(レ)を1.3倍した長さ分を短くした部分が7.5になるような図をかきます。これが(デ)−(レ)×1.3=7.5を表す図です。この上下をよく見比べると、(レ)の1.3−1=0.3(倍)が12−7.5=4.5に該当することが、よりよく把握できるでしょう。
 (12−7.5)÷(1.3−1)=4.5÷0.3=15より(レ)が15、つまり列車の速さが秒速15mと求められるのです。あとは、15+12=27より電車の速さが秒速27mとなるので27×3.6=97.2(秒速m→時刻kmが3.6倍になる意味をよく確認しておいてください)より、時速97.2kmとわかります。

ランキングは以上になります。今回のランキングには入りませんでしたが、「速さの復習」については、前回10月マンスリーテストについて、特にテスト前半から中盤までに出された速さの問題で間違えたもの、正解したけれど解き方が曖昧であったものを、徹底的に見直してください。
 また、9月20日配信メルマガ【予想問題付き!サピックス5年生10月3日(水)マンスリーテストの攻略ポイントベスト5を発表します!】も、ぜひ読み直してみてください。

われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100%合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。

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