鉄人の一通入魂

 中学受験鉄人会が毎週お届けしておりますメールマガジン
『 鉄人の一通入魂』のバックナンバーです。

2018.10.09配信
絶対に役立つ中学受験専門プロ家庭教師からの必勝アドバイス!
四谷大塚・早稲田アカデミー4・5年生 予習シリーズ算数下 第7回・第8回攻略ポイント

<算数 5年下 第7回 >

第7回は『速さと比(2)』です。この回では、比を利用して旅人算を考えます。基本は前回と同様に、速さの3要素(速度・時間・距離)のうちの何が等しい(一定)かを読みとります。旅人算では、同時に出発する形が多く、この場合は、出会う(または追いつく)までの時間は等しいことがポイントになります。

【攻略ポイント1】
 

「必修例題1」は、兄と弟が、離れた2地点A、Bから同時に出発して出会う問題です。予習シリーズ65ページの解き方にある線分図を参照してください。

  1. 2人が出会った地点をC地点とします。兄はCB間を9分で進み、弟は同じCB間を12分で進んでいます。距離が等しい(一定)とき、速度比と時間比は逆比の関係になりますので、1/9:1/12=4:3より、兄と弟の速度比は、4:3です。
  2. 兄は、AB間を12+9=21分で進みます。(1)と同様に、AB間の距離は一定ですから、速度比と時間比は逆比の関係になり、兄と弟の時間比は、1/4:1/3=3:4になりますので、21分÷3×4=28より、弟がA地に着くのは、28分後です。また、別の解き方もあります。兄の、A→CとC→Bを進む時間比である、AC:CB=12分:9分=4:3より、距離比も、AC:CB=4:3です。この距離の関係から、弟は、CB=3の距離を12分で進みますから、AB=4+3=7の距離を進むには、12÷3×7=28より、28分となります。

「必修例題2」は、兄と弟が、2地点AB間を往復する問題です。予習シリーズ66ページの解き方にある線分図を参照してください。

  1. 距離が一定ですから、速度比と時間比は逆比の関係になります。よって、兄:弟=1/20:1/30=3:2より、兄と弟の歩く速度比は、3:2です。
  2. 兄の速度=3に片道の時間(20÷2=)10分をかけることで、AB間の距離が3×10=30と求まります。2人が、距離が30離れている2地点A、Bを同時に出発して出会いますから、旅人算の出会いを考えて、30÷(3+2)=6より、2人は6分後に出会います。
【攻略ポイント2】

「必修例題3」は、兄が弟を追いかける問題です。予習シリーズ67ページの解き方にある線分図を参照してください。

  1. 追いつき、追いつかれるまでに、2人の進んだ距離が等しいことがポイントになります。距離が等しい(一定)のとき、速度比と時間比は逆比の関係になります。兄が走って追いかける場合、追いつくまでにかかった時間 9分と、弟が追いつかれるまでにかかった時間 6+9=15分より、走る兄:弟の速度比は、1/9:1/15=5:3です。また、兄が自転車で追いかける場合、追いつくまでにかかった時間3分と、弟が追いつかれるまでにかかった時間6+3=9分より、自転車の兄:弟の速度比は、1/3:1/9=9:3(弟の速度を3のままにします)です。弟の速さは同じ3ですから、兄の走る速さと自転車の速さは、5:9とわかります。
  2. 弟の速度=3に10分をかけた3×10=30より、30の距離だけ先にいる弟を兄が自転車で追いかける、旅人算の追いかけを考えます。30÷(9−3)=5より、兄は5分後に弟に追いつきます。

「必修例題4」は、太郎君と次郎君が、離れたA、Bの2地点間を向かい合って同時に出発して往復する問題です。予習シリーズ68ページの解き方にある線分図を参照してください。

  1. 線分図をよく見て、スタートしてから1回目の出会いまでに2人合わせてAB間を1つ分進み、1回目の出会いから2回目の出会いまでに2人合わせてAB間を2つ分進んでいることに注意してください。2人それぞれが、進む距離も、時間も、(1回目の出会い〜2回目の出会い)は(スタート〜1回目の出会い)の2倍になっています。太郎君は、スタートしてから1回目に出会うまでに、1600÷2=800m進んでいます。よって、次郎君は、1500−800=700m進んだところで、出会いました。出会うまでの時間は等しいので、距離比=速度比となりますから、800:700=8:7より、太郎君と次郎君の速度は、8:7です。
  2. 次郎君は、スタートして2回目の出会いまでに1回目の出会いまでの距離の1+2=3倍進みます(これを2倍としないように気をつけてください)。よって、次郎君が2回目の出会いまでに進んだ距離は、700×3=2100mです。2100−1500=600より、2回目に出会った地点は、A地から600mのところです。
【攻略ポイント3】

「必修例題5」は、ダイヤグラムの問題です。予習シリーズ69ページの解き方にあるグラフを参照してください。

  1. PQ間を、A君は、70−10=60分、B君は、90分で同じ進みます。よって、時間比は、A君:B君=60:90=2:3です。2人の速度はそれぞれ一定ですから、距離が等しければ、時間比はいつも2:3です。2人が出会った地点Rまでの距離PRを、A君は2の時間で、B君は3の時間で進みます。ダイヤグラムより、この時間の合計は、90−10=80分とわかります。よって、80÷(2+3)×2=32より、A君が出発してから、32分後にすれちがいます。
  2. A君は、PR間を32分で進みますので、RQ間は、60−32=28分で進んでいます。A君の速度は一定ですから、速度比=距離比です。よって、32:28=8:7より、PRとRQの距離比は、8:7です。

<算数 5年下 第8回 >

第8回は『平面図形と比(3)』です。三角形の相似を利用して、長さの比や、その長さの比を底辺の比として、面積比に利用する問題を学習します。第4回で学習した、平行線を使ったピラミッド型やクロス型の相似を見つけることがカギになります。また、太陽の光や街灯の光による影の長さの問題も三角形の相似を利用して考えます。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、直角三角形の中にピッタリおさまる正方形の辺の長さを求める問題です。
問題の図では、ピラミッド型の相似な三角形を考えます。相似な三角形では、対応する角をはさむ2辺の比は等しくなる、という性質を利用します。予習シリーズ75ページの解き方にある図を参照してください。辺ABと接している正方形の頂点をDとして、時計回りに、正方形をDECFとします。三角形ABCにおいて、直角をはさむ2辺の比がBC:AC=28cm:21cm=4:3であれば、三角形ABCと相似な三角形ADEにおいても、直角をはさむ2辺の比、DE:AE=4:3となります。正方形DECFにおいて、DE=4として、EC=DE=4です。よって、AE:EC=3:4と考えることができます。AC=21cmから、EC=21÷(3+4)×4=12より、ECすなわち、正方形の1辺の長さは、12cmです。

「必修例題2」は、正三角形を折った図形において、ある角度を求める問題です。
 三角形ABDにおいて、外角の定理により、角DAC(角DAEと角EACの和)=角B+角BDA=角B+xです。ここで、角DAEは、折る前の角(A)=60度、また、角B=60度ですから、先の等式で、等号の左側は60度+角EACで、等号の右側は60度+xとなります。結果として、角EAC=xとなります。そこで、三角形ACEにおいて、角EAC=x、角C=60度、角AEC=34度で、合計が180度です。よって、180−(60+34)=86より、Xの角の大きさは、86度です。

「必修例題3」は、長方形を折った図形の問題です。
折った図形は、折る前の図形と(当然に)合同な図形になり、重なっていない部分の2つの三角形は相似な図形になります。合同な図形では、対応する辺の長さ、対応する角の大きさは等しくなります。また、相似な図形では、対応する辺の長さの比(相似比)、対応する角の大きさは等しくなります。予習シリーズ77ページの解き方にある図形を参照してください。

  1. 三角形FECは、折る前の部分である三角形BECと合同ですから、三角形BECの面積を求めればよいことになります。辺BC=15cm、辺EB=9−4=5cmです。よって、15×5÷2=37.5より、三角形FECの面積は、37.5平方cmです。
  2. 三角形AEFと三角形DFCは、この頂点の順に対応する相似な三角形です。必修例題1に述べた、対応する角をはさむ2辺の比は等しいという性質より、AE:EF=DF:FCとなります。AE:EF=4cm:5cm=4:5ですから、DF:FC=4:5です。FC=15cmより、DF=15÷5×4=12cmとなります。よって、12×9÷2=54より、三角形FCDの面積は、54平方cmです。
【攻略ポイント2】

影の問題を学習します。この問題は、大きく2つに分類できます。太陽光による影の問題と、電灯光による影の問題です。考え方が異なることがありますので、それぞれの解き方を理解しましょう。

「必修例題4」は、太陽光による影の問題です。
太陽光による影の問題では、文章中に必ず、棒の長さと影の長さが与えられます。この棒の長さと影の長さによる三角形と、問題中の木の長さと影の長さによる三角形を、相似な三角形として相似の問題を解いていきます。ただし、木の長さと影の長さについては、[へいにできた木の影の先端から木に垂直な線を引いた三角形]を考えることが ポイントになります。予習シリーズ78ページの解き方にある図を参照してください。
 問題文より、棒の長さ(高さ):影の長さ(底辺)=30cm:40cm=3:4です。木の長さを□cmとして、へいにうつった影の長さを引いた、(□−2)mを高さ、木とへいの間の長さ6mを底辺とする三角形が、3:4となります。よって、□−2=6m÷4×3=4.5m、□=4.5+2=6.5より、木の高さは、6.5mです。

「必修例題5」は、電灯光による影の問題です。
この問題では、必修例題4と同じように、[人の身長の先端から街灯に垂直な線を引いた三角形]を考え、この三角形と人の身長と影の長さによる三角形との相似を考えて問題を解いていきます。
(街灯の高さ−とも子さんの身長):(街灯からとも子さんまでの距離)=(とも子さんの身長):(とも子さんから影の先端までの距離)という、関係になります。とも子さんの影の長さを□mとして、数値の式にすると、(4−1.5):3=1.5:□となります。□=3×1.5÷2.5=1.8より、とも子さんの影の長さは、1.8mです。
 ここでは、太陽光による影の問題と同様でしたが、電灯光の問題では、人が移動することによって、影の長さが変化していくケースがあることに、注意が必要です。

<算数 4年下 第7回 >

第7回は『小数(2)』です。今回の小数は計算が中心です。小数×整数、小数÷整数、小数×小数、小数÷小数 の計算の仕方を学習します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、小数×整数の計算の仕方が説明されています。2.7L×12の計算です。2.7Lを10倍して27dLに変えることによって、整数の計算にして進めてみます。27dL×12=324dLでこれをLの単位に直すと324÷10=32.4Lとなります。
なお、これは、2.7L×12=32.4Lということですから、結果として、かけられる数と、積(かけ算の答え)の小数点の位置は変わっていません(小数第一位の数に整数をかけると、積も小数第一位になる)。つまり、小数×整数の計算は、小数の小数点をなくした、整数に整数をかける計算をして、その積に、元の位置に小数点をつければよいことになります(予習シリーズ53ページの解き方にあるひっ算を参照してください)。

【攻略ポイント2】

「必修例題2」は、小数÷整数の計算でわり切る場合です。予習シリーズ54ページの解き方にあるひっ算を参照してください。

  1. ひっ算の形で、わられる小数と商(わり算の答え)の小数点の位置は変わりません。わられる数を整数として、整数どうしのわり算をします。その商に、割られる数の小数点と同じ位置に小数点をつければよいことになります。わり算の計算の段階で割り切れない場合は、0(ゼロ)をおぎなって割り続けます。
  2. ふくろの数は整数ですので、商を整数で求めることに注意してください。また、あまりも求めるわり算です。このあまりの数の小数点の位置はわられる数の小数点の位置と同じところにつけることも、注意してください。
【攻略ポイント3】

数は10倍、100倍、……すると、位が1つ、2つ、……と上がりますので、小数点は右へ、1つ、2つ、……と移動します。また、10でわる、100でわる、……と小数点は左へ、1つ、2つ、……と移動します。例えば、1.234を10倍、100倍すると、それぞれ12.34、123.4となります。また、567.8を10でわる、100でわると、それぞれ56.78、5.678となります。このことを利用して、小数どうしのかけ算・わり算を学習します。

「必修例題3」は、小数どうしのかけ算です。
2.63×3.5の計算ですが、2.63を100倍(小数点を右へ2つ移動)し、3.5を10倍(小数点を右へ1つ移動)した263×35の計算をして、その結果の9205を(100×10=)1000で割って(小数点を左へ3つ移動)、9.205とします。

「必修例題4」は、小数どうしのわり算です。例えば、15÷3=5と、15、3をそれぞれ10倍した、150÷30=5を比べてみましょう。わり算では、わられる数とわる数の両方に同じ数をかけても同じ数で割っても、商は同じになります。

  1. 3.25÷2.6の計算において、わられる数とわる数を10倍して整数にします。つまり、32.5÷26の計算をすればよいことになります。ここからは、必修例題2の計算と同じ進め方になります。3.25÷2.6=32.5÷26=1.25より、長方形の横の長さは、1.25cmです。
  2. 15.3mを2.1mずつに分けますので、15.3÷2.1の計算です。わられる数とわる数をそれぞれ10倍した、153÷21のわり算をします。商は、リボンの本数ですから、整数を考えます。このときの、あまりの数の小数点の位置が重要です。あまりの数の小数点は、(10倍する前の)わられる数の小数点と同じ位置につけることに注意してください。

<算数 4年下 第8回 >

第8回は『分数(2)』です。分数どうしの大小をくらべたり、分数どうしの加減(たし算とひき算)をする場合に必要な、通分や約分の仕方を学習します。分母が同じ分数では、分子が大きくなれば分数は大きくなる、ということはおわかりですね。ですから、分母の異なった分数を分母の同じ分数にして考えます。このために必要なことが、通分という作業です。また、分数の大きさを考える上で、分子・分母をなるべく簡単な数で表すことも大切です。この作業が約分です。これらの通分・約分の作業では、「分数の分子・分母に0でない同じ数をかけても、0でない同じ数でわっても分数の大きさは変わらない」という重要な性質を利用します。なお、メルマガでは分数は、分子/分母の形で表し、帯分数は、整数・分子/分母と表します。

【攻略ポイント1】

予習シリーズ61ページにある通分と約分の説明をよく読んで、理解しましょう。

「必修例題1」は、約分と通分の問題です。

  1. 約分する問題です。上で説明しましたように、分数の分子・分母を、0でない同じ数でわります。マル1(○の中に数をいれた表示は、文字化けすることがありますので、このように表します)は、分子の45と分母の51のどちらも共通にわることのできる、できるだけ大きな数の3でわります。45÷3=15、51÷3=17より、45/51をこれ以上約分できない分数に直すと、15/17です。マル2は、分子・分母を共通にわることのできる、できるだけ大きな数14でわります。28÷14=2、42÷14=3より、28/42をこれ以上約分できない分数に直すと、2/3です。なお、ここで使っている、共通にわることのできる、できるだけ大きな数とは、最大公約数のことです。
  2. 分数の大小を考えますので、分母をそろえて、分子の大小を考えればよいことになります。これが通分の利用です。予習シリーズ62ページの解き方にある、連除法を参照してください。6と9と15の最小公倍数である90を共通の分母とします。5/6=75/90、7/9=70/90、13/15=78/90となります。よって、分子の75と70と78の中で、最も大きいものは78ですから、3つの数の中で最も大きい分数は、78/90のもとの分数である、13/15です。解答の仕方としては、もとの分数で答えることに注意してください。

「必修例題2」は、 (分母のことなる) 異分母の分数の加減です。
異なる分母の数の最小公倍数を新しい分母として、同分母の加減を行います。

  1. 分母3と分母2の最小公倍数である6を新しい分母として通分します。整数部分はそのままで、分数部分を2/3=4/6、1/2=3/6として、整数部分の和は5+3=8、分数部分の和は、4/6+3/6=7/6=1・1/6になりますので、8+1・1/6=9・1/6となります。
  2. 分母6と分母15の最小公倍数である30を新しい分母として通分します。分数部分どうしは、1/6=5/30、7/15=14/30となりますので、引けません。そこで引かれる数の整数部分から1を繰り下げます。つまり、1=30/30から、引かれる数は3・5/30=2・35/30とします。そして,引き算です。整数部分の差は、2−1=1、分数部分の差は35/30−14/30=21/30ですが、約分ができますので、21/30=7/10となります。よって、答えは、1・7/10です。

ポイントを整理しますと、通分後の分数の加減では、整数部分・分数部分は別々に加減する。引き算では、繰り下がりに注意する。答えは既約分数(これ以上約分できない分数)で答える、ということになります。

「必修例題3」は、文章問題です。分母をそろえる(=通分する)ことが解法のコツです。

  1. 問題内容を整頓すると、(□+5)/48=5/8ですから、通分して5/8=30/48とすると、分子部分は□+5=30となります。よって、□=30−5=25より、この分数の分子は25です。
  2. 約分した後の分子・分母の和は、4+9=13になりますから、91÷13=7で約分したことがわかります。よって、もとの分子は(4×7)、分母は(9×7)です。つまり、28/63です。
【攻略ポイント2】

分数、小数の混じった問題では、まず小数を分数に直すことを基本的方針として身につけましょう。直し方は0.1=1/10、0.01=1/100、0.001=1/1000、などを利用します。例えば、2.34=0.01×234ですので、(1/100)×234=234/100=2・34/100となります。ここで、約分できる場合は約分しますので,2・17/50とします。

「必修例題4」は、分数と小数が混じった数の大小くらべの問題です。
基本的方針にそって、分数で通分するところですが、3つの分数の通分はなかなか難しいものです。この場合は、すべて小数に直すことも一つの考え方です。分数を小数に直す場合、分子÷分母の計算をします。ここでは、割り切る必要はなく、他とくらべて、大小がわかればよいのです。4/5を小数に直して、4/5=4÷5=0.8です。7/9は、7/9=7÷9=0.77…としておきます。よって、小さい方から順に、0.72、0.77…、0.8となりますが、答えは、もとの数で答えますので、0.72、7/9、4/5です。

われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100%合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。

パパとママの勉強部屋
中学受験の模試について
中学受験塾の分析とアドバイス
必勝アドバイス
SAPIX マンスリー・組分けテスト算数予想問題 早稲田アカデミー・四谷大塚 公開組分けテスト算数予想問題
中学受験鉄人会 資料請求
中学受験鉄人会 公式Facebook はじめました。
中学受験鉄人会への喜びの声 学校別攻略法:現役スーパープロ家庭教師による中学校別攻略法 中学受験鉄人会家庭教師募集

twinavi

Twitterの総合ナビゲーションサイト
»詳しくはこちらをクリック