鉄人の一通入魂

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2017.11.28配信
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四谷大塚・早稲田アカデミー4・5年生 予習シリーズ算数下 第14回攻略ポイント

<算数 5年下 第14回 >

第14回は『容器と水量(2)』です。2つの内容を学習します。1つ目は、容器の水の中にある物体を沈めたときの、水の深さの変化を考える問題です。基本は、[水に沈めた物体の体積=見かけ上増えた水の体積]です。2つ目は、容器を傾ける問題です。ここでは、自分で図をかいて考えることで、理解が深まります。なお、分数は、分子/分母の形で、帯分数は、整数・分子/分母の形で表します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、水の入った容器に、物体を沈める問題です。予習シリーズ133、134ページの解き方にある図を参照してください。

底面積が200平方cmで、高さが20cmの直方体の容器に、深さ14cmまで水が入っています。

  1. この容器に1辺が10cmの立方体を沈めます。沈めた立方体の体積は、10×10×10=1000立方cmですから、見かけ上増えた水の体積も1000立方cmです。容器の底面積は200平方cmですから、1000÷200=5より、見かけ上の深さが5cm増えます。よって、14+5=19より、水の深さは、19cmです。
  2. 見かけ上増えた水の体積を求めると、沈めた物体の体積になります。容積(容器の体積)と水の体積の差に、こぼれた水の体積を加えた合計が、見かけ上増えた水の体積となります。容積と水の体積の差は、200×(20−14)=1200立方cmで、こぼれた水の体積150立方cmを加えます。1200+150=1350より、見かけ上増えた水の体積、よって、物体の体積は、1350立方cmです。

「必修例題2」も、前問と同様に、水の入った容器に、物体を沈める問題ですが、注意すべき点があります。予習シリーズ134、135ページの解き方にある図を参照してください。
 底面積が250平方cmで、深さが20cmの円柱の容器に10cmの深さまで水がはいっています。また、底面積が50平方cmで、高さが15cmの直方体のおもりが2個あります。

  1. 水の体積は、250×10=2500立方cmです。おもり1個を容器の底に立てると、おもりの一部が水より上に出ると考えます。そこで、水の入る部分の底面積は、250−50=200平方cmとなります。よって、2500÷200=12.5より、深さは、12.5cmです。この12.5cmは、おもりの高さの15cmより低いので、おもりが水面より上にありますから成り立ちます。しかし、次の問題では、同じように考えられないところが出てきます。
  2. おもり2個を容器の底に立てると、水の入る部分の底面積は、250−50×2=150平方cmです。よって、2500÷150=16・2/3より、水の深さは、16・2/3cmとなりますが、おもりの高さの15cmより高くなっていて、おもりが水面より上になるものとして考えた前提が、間違っていたことになります。そこで、すべて水に沈むものとして、解き直します。おもり2個の合計である、50×15×2=1500立方cmの物体を水に沈めますので、見かけ上増えた水の深さは、1500÷250=6cmです。よって、10+6=16より、水の深さは、16cmです。
     必修例題2は、比を利用した別解も考えられますが、ここでは、比を利用せずに説明しました。比の利用については、予習シリーズの解き方を参照してください。

「必修例題3」は、おもりの置き方をかえて水に入れたときの、水の深さを考える問題です。予習シリーズ135ページの問題の図、および解き方にある図を参照してください。

  1. (図2)の深さ8cmが、(図3)の深さ10cmに変化したのは、(図2)の水面より上の部分を切り取って、水の中に入れたと考えられます。つまり、8×8×(12−8)=256立方cmの体積の物体を水に沈めたことにより、深さが10−8=2cm増えたと考えます。よって、256÷2=128より、水そうの底面積は、128平方cmです。
  2. (図3)において、深さ10cmのときの体積から、おもりの体積を引いた部分が水の体積です。おもりの体積は、8×8×12=768立方cmですから、128×10−768=512より、水の体積は、512立方cmです。
【攻略ポイント2】

水の入った容器を傾けたときの、水の体積や、部分的な長さを求めることを学習します。

「必修例題4」は、水の入った容器を傾ける問題です。予習シリーズ137ページの問題の図、および解き方の図を参照してください。 1辺の長さが12cmの立方体の容器に8cmの深さまで水が入っています。この容器を、底面の1つの辺を床につけたまま傾けます。

  1. この容器を正面から見た状態で、水によってできる図形の面積を考えます。奥行き(立方体のたて方向)は同じですので、傾ける前も、傾けた後も、正面から見た四角形の面積は等しいです。傾ける前の長方形の面積は、8×12=96平方cmです。ですから、(図1)の台形の面積を求める式は、(x+12)×12÷2=96となります。よって、96×2÷12−12=4より、xは、4cmです。なお、別解として次のように考えることもできます。面積が等しく、容器底面の横の長さも等しいので、どちらも、容器の左右の部分にある辺の長さの合計は等しくなります。つまり、8+8=12+xとなります。よって、x=8+8−12=4より、x=4cmです。
  2. 水面は、床と平行になります。水面の線と容器の辺の間は、平行線のさっ角により45度になりますので、水によってできる図形は、直角三角形になります。よって、(図1)と比べると、xを底辺とする三角形の部分がこぼれた水の部分です。面積は、4×12÷2=24平方cmで、この面積に奥行きの12cmをかけると、体積になります。24×12=288より、こぼれた水の体積は、288立方cmです。
  3. はじめに入っていた水の体積は、12×12×8=1152立方cmで、こぼれた水の体積である540立方cmを引いて、1152−540=612立方cmが、残っている水の体積です。(図2)の面積に奥行きの12cmをかけると、残っている水の体積になりますので、式に整頓すると、y×12÷2×12=612となります。よって、612÷12×2÷12=8.5より、yは8.5cmです。

<算数 4年下 第14回 >

第14回は『場合の数(1)』です。例えば、A、B、Cの3つの文字を、順序を考えて並べるとき、何通りの並べ方があるかを考えるような問題を、場合の数の問題といいます。上記の問題の答えは、ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBAの6通りです。場合の数の問題では、もれがなく、重なりがないよう、順序よく考えることが大切です。

【攻略ポイント1】

規則正しい数え方を学習します。

「必修例題1」は、{0、1、2、3}の4まいのカードから3まいのカードをならべて3けたの整数を作る問題です。0のカードが入っている場合は、注意が必要です。

  1. 最も小さい数を作ります。大きい位に小さいカードを使っていくことになります。ですが、百の位に0のカードは使えませんので、百の位に1のカードを使います。十の位には0を使い、一の位には次に小さい2を使います。よって、最も小さい数は、102です。
  2. 続けていくと、百の位に1を使った数は、102、103、120、123、130、132、と6つできます。次は、百の位に2を使った数で、201、203、となりますので、小さい方から8番目の数は、203です。

「必修例題2」も、前問と同様の問題です。{0、1、2、2}には、0が入っていること、2が2つあることに注意して考えます。
 3けたの数を作るのですが、百の位に0は使えません。

  • (ア) まず百の位に1を使う場合を考えます。十の位には、残りの0か2を使うことができます。ここまでで、10□、12□の2通りです。一の位には、10□のときは2、12□のときは0か2(2つ目の2)を使うことができます。よって、102、120、122の3通りができます。
  • (イ) 次に百の位に2を使う場合です。十の位には、残りの0か1か2(2つ目の2)を使うことができます。ここまでで、20□、21□、22□の3通りです。一の位には、20□のときは1か2(2つ目の2)、21□のときは0か2(2つ目の2)、22□のときは0か1を使うことができます。よって、201、201、210、212、220、221の6通りができます。

(ア)と(イ)より、3けたの整数は(3+6=)9 通り作ることができます。

【攻略ポイント2】

樹形図の利用を学習する内容ですが、ここでは、樹形図をかくことができませんので、予習シリーズの樹形図を参照してください。樹形図をかく場合でも、数を小さい順にならべるなど、きまりを作り規則正しくかくことが大切です。

「必修例題3」は、兄、私、妹の3人が横一列にならぶ問題です。 基本的には数を並べる場合と同様です。

  1. 「兄」を左はしにして並べていくと、(兄・私・妹)か、(兄・妹・私)かの2通りできます。
  2. 「私」を左はしにして並べていくと、(私・兄・妹)か、(私・妹・兄)かの2通り。「妹」を左はしにして並べていくと、(妹・兄・私)か、(妹・私・兄)かの2通り。よって、(1)の「兄」を左はしにする2通りもふくめて、2+2+2=2×3=6より、6通りできます。(2)のように、だれが左はしにきても場合の数が同じになる、つまり「並べ方の条件が等しい場合」には、「かけ算を使うことができる」ということに、注意しておいてください。

「必修例題4」は、カードを3まいならべて、3けたの偶数を作る問題です。 偶数は、一の位に偶数を使うことでできます。よって、一の位から使うカードを決めていきます。

  • (ア) まず、一の位に0を使います。百の位には、1、2、3のどのカードを使ってもよいので、1□0、2□0、3□0の3通りとなります。十の位には、1□0の場合には2か3の2通り、2□0の場合には1か3の2通り、3□0の場合には1か2の2通り使うことができます。よって、3×2=6通り作ることができます。
  • (イ) 一の位に2を置く場合には、残りの0、1、3のうち、百の位に0は使うことができないので、1□2、3□2の2通りとなります。十の位には、1□2の場合には0か3の2通り、3□2の場合には0か1の2通り使うことができます。よって、2×2=4通り作ることができます。

(ア)と(イ)より、3けたの偶数は(6+4=)10通りできます。

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