鉄人の一通入魂

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2017.9.5配信
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四谷大塚・早稲田アカデミー4・5年生 予習シリーズ算数下 第2回攻略ポイント

<算数 5年下 第2回 >

第2回は比(2)です。比例式と比例、逆比と反比例、倍数算を学習します。 まずは、比例式の学習です。比例式とは、2組の比が等号で結ばれた式のことで、比の値が等しくなっています。ここで学習する比例式は、比の問題を解く場面において、とても利用度の高い計算方法です。分数・小数のかけ算・わり算も含めて、比例式の性質(外項の積は内項の積に等しい)を使えるようにトレーニングしておきましょう。また、倍数算は、比の1あたりの量が異なった2組の比を、1あたりの量を等しく(統一)させて考える問題です。なお、分数は、分子/分母の形で表示します。

【攻略ポイント1】

比例式と比例について学習します。予習シリーズ17ページの説明を参照してください。
 例えば、単価(1つの値段)の等しい品物を買った時の個数と代金は、個数が2倍、3倍、…になると、代金も2倍、3倍、…になりますが、このような関係を比例といいます。私たちの身の回りにある2つの数量の関係において、最も多くある関係です。

「必修例題1」は、比例式を使って、未知数を求める問題です。

  1. x:20が3:5と等しいので、20÷5=4より、比の1つ分は4とわかります。よって、4×3=12より、xは、12です。
  2. ここでは、比の1つ分を考えず、比例式の性質を利用して求めます。比例式の性質とは、外項の積は内項の積に等しいというものです。比例式A:B=C:Dは、A×D=B×Dが成り立ちます。このことを利用して、x×2/3=3×0.25より、x=3×0.25÷2/3=1・1/8(1+1/8をこのように表すことにします)となります。

「必修例題2」は、比例式を使って解く文章題です。
 単価×個数=代金より、個数が等しいならば、単価と代金は比例します。単価の比が45:30=3:2であれば、代金の比も3:2で、差が75円です。よって、75÷(3−2)=75円が比の1つ分とわかります。75円×3=225円より、持っていったお金は225円です。

【攻略ポイント2】

逆比と反比例について学習します。予習シリーズ18ページの説明を参照してください。逆比について注意してください。逆比とは、逆数(この説明もきちんと理解してください)の比ということで、比の前項と後項を逆にすることではありません。

「必修例題3」は、積が等しい関係から、逆比を考える問題です。

  1. 文章を式にすると、A×3=B×2となります。この答えを1とします。つまり、A×3=1となりますので、A=1÷3=1/3です。また、B×2=1となりますので、B=1÷2=1/2です。よって、A:B=1/3:1/2=2:3です。
  2. 上の考え方と同様に、A=1÷4/5=5/4、B=1÷2/3=3/2となりますので、A:B=5/4:3/2=5:6です。
  3. A=A×1ですから、A、B、Cのそれぞれにかけられている数の逆数をつくると、1の逆数は1、1・1/5=6/5の逆数は5/6、0.8=4/5の逆数は5/4となります。よって、A:B:C=1:5/6:5/4=12:10:15です。

「必修例題4」は、逆比を利用して解く文章題です。

  1. 大人2人分の入園料と子ども5人分の入園料が等しいので、大人と子ども1人分の入園料をそれぞれA円とB円として式に整頓すると、A×2=B×5となります。よって、A:B=1/2:1/5=5:2より、答えは5:2です。
  2. 1人分の入園料を、大人=5、子ども=2とすると、大人3人と子ども7人の入園料の合計は、5×3+2×7=29となりまずが、これが2320円です。よって、2320÷29=80円が比の1つ分ですので、80×2=160より、子ども1人の入園料は160円です。

「必修例題5」は、食塩水の問題です。食塩水の重さ×濃さ=食塩の重さ、において食塩の重さ(積)が変わらないときには、食塩水の重さと濃さは反比例の関係になります。反比例については、予習シリーズ20ページの説明を参照してください。
 食塩水に水を加えても、食塩の重さは変わりません。濃さの比、8%;6%=4:3の逆比である、1/4:1/3=3:4が、食塩水の重さの比となります。食塩水の重さの違いは、100gの水を加えたことによるものです。よって、100g÷(4−3)=100gが比の1つ分です。100×3=300より、はじめ、容器には300gの食塩水が入っていました。

【攻略ポイント3】

倍数算について、学習します。倍数算は、比の1つ分が異なる、2組の比において、共通の1つ分を作って(統一して)考える問題です。共通にするために、最小公倍数を利用します。

「必修例題6」は、倍数算の代表である、和が変わらない問題と差が変わらない問題です。

  1. やりとり問題と言われる問題です。和(合計)の数量はやりとり後も変わらないことに注目して、それぞれの前項・後項の和を2組の比の間でそろえます。兄と弟の持っているカードの枚数について、やりとり前は7:3(和は10)ですが、やりとり後は、3:2(和は5)になりました。和を、10と5の最小公倍数である10になるようにすると、やりとり前はそのまま7:3で、やりとり後を3:2=6:4にします。比の1つ分がそろいましたので、兄が弟にあげた4枚により、兄は7から6に1減り、弟は3から4に1増えています。つまり、比の1つ分は4枚です。4×7=28より、はじめに兄が持っていたカードの枚数は28枚です。
  2. 同量の増減問題で、差が変わらないタイプの問題です。お金を使った後も2人の持っているお金の差は変わらないことに注目して、それぞれの前項・後項の差を2組の比の間でそろえます。姉と妹の持っているお金について、使う前は5:3(差は2)ですが、使った後は4:1(差は3)になりました。差を、2と3の最小公倍数である6になるようにすると、使う前は5:3=15:9に、使った後を4:1=8:2にします。比の1分がそろいましたので、姉は15から8に7減り、妹は9から2に同じく7減っています。比の7が420円とわかりました。420円÷7=60円が比の1つ分です。60×9=540より、はじめに妹が持っていたお金は540円です。

<算数 4年下 第2回 >

第2回は倍数と公倍数です。倍数という言葉からも何倍かしてできる数であることがわかると思います。第1回の約数の場合と同様、倍数を求める、最小公倍数を求めるといった、基礎のトレーニングが今後の学習に必要となります。また、倍数の個数を求める計算もしっかり理解してください。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、倍数の仕組みを考える問題です。

  1. (1) 100÷8=12あまり4より、8を12倍した数が求める数です。8×12=96より、または、100−4=96より、答えは、96です。
  2. (2) 8の倍数は、8×1=8、8×2=16、8×3=24、…のように、1から順にかけていって作ることができますから、8×12までの、12個です。ある数Nまでに数Aの倍数が何個あるかの計算は、この問題のように、N÷Aの計算をした整数の商が個数となります。
【攻略ポイント2】

公倍数と最小公倍数について学習します。予習シリーズ16、17ページの説明をよく読んで、理解しましょう。連除法による最小公倍数の求め方ですが、注意すべきは、3数以上の連除法で、最大公約数のときと異なる部分があることです。違いを確実に学習しましょう。

「必修例題2」は、公倍数の基本となる問題です。

  1. 9の倍数と、12の倍数を書いていき、等しい数がはじめて出てきたら、その数が最小公倍数です。答えは、36です。連除法を利用すると、より早く求められます。予習シリーズ17ページの解き方の前半部分を参照してください。
  2. 公倍数は、最小公倍数の倍数です。10番目は、最小公倍数に10をかけることで求めることができます。36×10=360より、小さい方からかぞえて10番目の数は、360です。

「必修例題3」は、3数の最大公約数と最小公倍数を求める問題です。
 どちらも連除法を利用します。最大公約数については、第1回で学習した通りに求めます。注意すべきは、最小公倍数の場合です。3数(以上)の場合は、2数が共通にわれるときは、わっていきます。このとき、われない数は、そのまま下へおろします。そのうえで、連除法の左に表れたわった数と、一番下に残った数をすべてかけ算した結果が、最小公倍数です。予習シリーズ17ページの解き方を参照してください。答えは、最大公約数が6、最小公倍数は1512です。

「必修例題4」は、すこし複雑な公倍数の問題です。公倍数の問題では、整数の集まりをグループに分けて表す図(ベン図)で考えると、理解しやすくなります。予習シリーズ18ページの解き方にあるベン図を参照してください。

  1. 4でわり切れる数は4の倍数です。同様に、6でわり切れる数は6の倍数です。よって、どちらでもわり切れる数は、4と6の公倍数です。(公)倍数の個数を求めますので、必修例題1で学習したように、わり算の商が求める個数です。4と6の公倍数は、4と6の最小公倍数である12の倍数です。よって、100までの整数のうち12の倍数の個数を求めます。100÷12=8あまり4より、4でも6でもわり切れる整数は、8個です。
  2. ベン図を利用すると、4の倍数(の個数)のうち、12の倍数(の個数)をのぞいた部分とわかります。100÷4=25個が4の倍数の個数です。また、12の倍数の個数は、(1)で求めた8個です。よって、求める個数は、25−8=17より、17個です。

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