鉄人の一通入魂

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2017.3.7配信
絶対に役立つ中学受験専門プロ家庭教師からの必勝アドバイス!
四谷大塚・早稲田アカデミー4・5年生 予習シリーズ算数上 第6回攻略ポイント

<算数 5年上 第6回 >

第6回は『円(2)』です。円とおうぎ形について、面積と、円周や弧(こ)の長さの求め方を学習します。円の計算では、円周率としての3.14という小数のかけ算や、分子を中心角の大きさ、分母を360度とする「中心角/360」という分数のかけ算が数多く使われます。そこで、計算上の注意が必要となります。なお、分数は、分子/分母の形で表します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、円の中にある角度を求める問題です。円の半径はどこでも等しい長さですから、半径を使った三角形は二等辺三角形になることを利用します。

  1. 半径であるOA=OBより、三角形OABは二等辺三角形です。角OAB=角OBA=36度です。よって、180−36×2=108より、xは108度です。
  2. (1)と同様に、半径であるOA=OCより、三角形OACも二等辺三角形です。角OAC=角OCAで、外角の定理を利用すると、y×2=x=108となります。よって、108÷2=54より、yは54度です。  なお、直径を1辺として、円周上に頂点をもつ三角形は、円周上の頂点の角が、必ず直角になります。この直角三角形を利用する場面が多くありますので、理解しておきましょう。この問題では、角BACが直角となります。

「必修例題2」は、公式を使って円周や弧の長さを求める問題です。

  1. 円周の長さの求め方は、直径(半径×2)×円周率、です。8×3.14=25.12より、円周の長さは、25.12cmとなります。
  2. 弧の長さの求め方は、円周の長さ×中心角/360です。9×2×3.14×120/360=6×3.14=18.84より、弧の長さは、18.84cmです。このように、3.14の計算は、それ以外を計算した後で、最後に計算することをお勧めします。
【攻略ポイント2】

「必修例題3」は、同じ大きさの円を重ねた図形の問題です。円に関係した角度の問題では、半径を新たにひいて考えることが多くあります。つまり、長さの同じ半径を使うことで、二等辺三角形(または正三角形)の性質を利用します。

  1. 直線PB、QBをひくと、どちらも半径ですから、三角形APBも三角形AQBも正三角形になります。よって、角PAB=角QAB=60度です。60×2=120より、角PAQの大きさは120度と求められます。
  2. 2つの円が重なっている部分のまわりの長さは、円周の一部、つまり弧でできています。弧PBQの長さは、半径6cm、中心角(角PAQ)は120度であることを使って求められます。また、もう一方の弧PAQも同じ長さです。6×2×3.14×120/360×2=8×3.14=25.12より、まわりの長さは、25.12cmです。

「必修例題4」は、公式を使って、円やおうぎ形の面積を求める問題です。

  1. 円の面積の求め方は、半径×半径×円周率です。5×5×3.14=78.5より、円の面積は78.5平方cmです。
  2. おうぎ形の面積の求め方は、円の面積×中心角/360です。4×4×3.14×135/360=6×3.14=18.84より、おうぎ形の面積は18.84平方cmです。このように、3.14の計算は、それ以外を計算した後で、最後に計算します。
【攻略ポイント3】

「必修例題5」は、円に関連した図形の面積を求める問題です。面積公式の成り立ちを理解して、公式を使えるようにしましょう。この問題の形をはっぱ形といいます。これは、四分円(円を4分割したおうぎ形)の面積から、直角二等辺三角形の面積を引いて求めた形を2つ合わせて、はっぱ形になっています。予習シリーズ56ページの解き方にある図を参照してください。
10×10×3.14×1/4=25×3.14=78.5より、半径10cmの四分円の面積は、78.5平方cmです。また、1辺10cmの直角二等辺三角形の面積は、10×10÷2=50より、50平方cmです。よって、(78.5−50)×2=57より、はっぱ形の面積は、57平方cmです。
 別の解き方も紹介しましょう。四分円を上下さかさまに重ね合せると、正方形の面積に、求めるはっぱ形の部分のみが二重に上積みされた形となります。そこで、はっぱ形の面積は、「2つの四分円の面積の和から、正方形の面積をひく」という解き方でも求められます。10×10×3.14×1/4×2−10×10=10×10×3.14×1/2−10×10=10×10×(1.57−1)=10×10×0.57=57として上記と同じ結果になります。
 まず面積公式の成り立ちをしっかり理解したうえで、慣れてきたら、このはっぱ形の面積は、正方形の1辺の長さを□とした場合、□×□×0.57で求められることも確認しておきましょう。ただし、この「×0.57」が成り立つのは、円周率が3.14の場合に限られます。円周率が3など、別の値で設定された場合は、数値が変わってきますので気をつけましょう。

なお、3.14の計算についてですが、3.14に1けたの数をかけた計算結果は、覚えておくとよいです。また、中心角/360の約分結果も、よく使われる中心角については、覚えましょう。

<算数 4年上 第6回 >

第6回は『植木算』です。直線や円周にそって木を植える場合の、木の本数と直線や円周の長さとの関係を考える問題です。長さは、「1区間(木と木の間)の長さ×区間の数」で求められます。この区間の数と植えた木の本数の関係を整頓しておきます。両端に木が植えてある場合は、木の本数−1=間(区間)の数です。両端には木が植えられない場合は、木の本数+1=間の数です。池の周りに木を植える場合は、木の本数=間の数です。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、両端に木が植えてある場合の、はしからはしまでの長さを求める問題です。 1区間の長さ=25mで、間の数=35−1=34か所ですから、25×34=850より、はしからはしまでの長さは850mです。

「必修例題2」は、植える木の本数がたりない場合の問題です。内容を確実に理解するために、予習シリーズ46ページにある図を参照してください。

  1. (1) 木を植えた長さは540−90=450mで、15mおきに木を植えましたから、450÷15=30より、間の数が30か所とわかります。この長さの両端にも木を植えますので、間の数+1が木の本数になります。よって、30+1=31より、木の本数は31本です。
  2. (2) 31本の木を植えますから、間の数は30か所です。540÷30=18より、木を18mおきに植えるとよいことになります。
【攻略ポイント2】

「必修例題3」は、途中の木と木(この問題では、電柱)の間の数を考えて長さを求める問題です。簡単な例を考えるとわかりやすいです。たとえば、2番目の電柱から5番目の電柱まで、間は何か所あるかを考えてみますと、3か所で、5−2の計算で求められることがわかります。
 6番の電柱から23番の電柱までの間の数は、23−6=17か所です。よって、12×17=204より、この2本の電柱の間のきょりは、204mです。

「必修例題4」は、池のまわり(つながった長さ)に木を植える問題です。木の本数=間の数となります。くいの数である99本は、間の数が99か所ということです。2×99=198より、この池のまわりの長さは、198mです。

【攻略ポイント3】

「必修例題5」は、木と木の間に、べつの木を植える問題です。

  1. (1) つながった長さである畑のまわりに杉の木を植えますから、木の本数=間の数です。240÷16=15より、杉の木の間かくは、15mです。
  2. (2) 2本の杉の間にツツジの木を等しい間かくで4本植えますが、両端には杉の木があります。木の本数+1=間の数より、間の数は4+1=5か所になります。よって、15÷5=3より、ツツジの木は3mの間かくで植えます。

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