鉄人の一通入魂

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2016.10.4配信
絶対に役立つ中学受験専門プロ家庭教師からの必勝アドバイス!
四谷大塚・早稲田アカデミー4・5年生 予習シリーズ算数下 第6回攻略ポイント

<算数 5年下 第6回 >

第6回は『速さと比(1)』です。速さの基本公式 [速度×時間=距離] において、速度・時間・距離の3要素のうち、どれか1つが一定ならば他の2つは比例か反比例になります。このことを使って、速さと比の問題を解いていきます。中学入試問題では、必修かつ重要な内容ですので、しっかり理解して進んでください。

【攻略ポイント1】

「必修例題1・2・3」は、速さと比の問題において基礎となるものです。説明にあるように、3要素のうちの何が一定かをしっかり確認して、そのときに残りの2要素の関係が比例になるのか反比例になるのかを把握しましょう。

「必修例題1」は、太郎君が一定の速さで走るという、速度が一定の問題です。この場合、時間の比と距離の比は、比例します。 AB間とAC間の距離の比は、16:(16+12)=4:7ですので、時間の比も、4:7となります。AB間を36分で動きましたので、36÷4×7=63より、C地に着くのは、63分=1時間3分後です。

「必修例題2」は、姉と妹が競走するという、時間が一定の問題です。この場合、速度の比と距離の比は、比例します。

  1. 姉の進んだ距離100mに対して、妹は、100−20=80mですから、距離の比は、100:80=5:4です。よって、姉と妹の走る速度の比は、5:4です。
  2. 妹が100mを走る時間にそろえる(等しくさせる)と、姉の走る距離は、100÷4×5=125より、125mです。125−100=25より、姉は、スタート地点を25m後ろに下げればよいことになります。

「必修例題3」は、家から駅までという、距離が一定の問題です。この場合、速度の比と時間の比は、反比例つまり逆比になります。
 毎分90mと毎分60mから、速度の比は、90:60=3:2です。よって、家から駅まで行くのにかかる時間の比は、1/3:1/2=2:3です。電車の発車時刻を中心に7分前と3分後を考えると、かかる時間は7+3=10分の差があります。よって、10÷(3−2)×2=20より、毎分90mで歩くと駅まで20分かかることがわかります。9時に家を出て、駅まで20分かかり、7分待ちますので、電車の発車時刻は、(9時+20分+7分=)9時27分です。

【攻略ポイント2】

「必修例題4」は、登山口から山頂までの距離が一定の問題です。問題内容の条件を整頓します。時間については、午前7時から午前11時20分までの、4時間20分のうち、山頂で休んだ50分をのぞく、3時間30分が動いていた時間です。また、上りの速度と下りの速度の比は、1:1.5=2:3です。
時間の比は、速度の比の逆比になりますので、上りの時間と下りの時間は、1/2:1/3=3:2です。3時間30分=210分を3:2に分けたうちの2を求めます。210÷(3+2)×2=84より、登山口に着いた午前11時20分の84分前に山頂を出発したことになります。よって、11時20分―84分=9時56分より、山頂を出発したのは、午前9時56分です。

「必修例題5」は、比の積や商を考える問題です。速度の3公式に比を含めて新たな比を考えます。問題内容を整頓します。歩く速度と走る速度の比は、60:150=2:5です。また、歩いた距離と走った距離の比は、2/3:(1−2/3)=2:1です。

  1. 時間の比は、距離の比÷速度の比となります。よって、2/2:1/5=5:1より、歩いた時間と走った時間の比は、5:1です。
  2. 家から駅まで18分かかりましたので、18÷(5+1)×1=3より、走った時間は3分です。よって、走った距離は、150×3=450mで、この距離は、2:1のうちの1にあたりますから、450÷1×(2+1)=1350より、家から駅までの距離は、1350mです。

「必修例題6」は、家から図書館までの距離が一定より、速度の比と時間の比が逆比になる問題です。この距離を歩いて行くと45分、走って行くと20分かかりますので、速度の比は、1/45:1/20=4:9となります。この速度の比の数値を使って、家から図書館までの距離を4×45分=180とします。 つるかめ算を利用して、(180−4×30)÷(9−4)=12より、走る時間は、12分です。

【攻略ポイント3】

「必修例題7」は、平均の速度を求める問題です。平均速度=距離の合計÷時間の合計 の公式に比を含めて考えます。

  1. 行きと帰りの距離が等しい(一定)ですから、速度の比と時間の比は、逆比になります。時間の比は、行き:帰り=1/4:1/12=3:1です。この数値と速度を使って、距離を、3×時速4km=12とします。距離の合計は、12×2=24、時間の合計は、3+1=4となりますので、24÷4=6より、平均の速度は、時速6kmです。くれぐれも、平均だからといって、(4+12)÷2=8といった計算をしないように気をつけてください。
  2. 時間の比=距離の比÷速度の比 ですから、AB間とBC間の時間比は、2/36:3/90=5:3です。この数値を使って、距離は、AB間=36×5=180、BC間=3×90=270とおきます。距離の合計は、180+270=450、時間の合計は、5+3=8となりますので、450÷8=56.25より、平均の速度は、分速56.25mです。

<算数 4年下 第6回 >

第6回は『分配算』です。分配算とは、2つや3つの量の間で、1つの量の○倍,△倍という関係と、合計(和)や差が与えられている場合に、それぞれの実際量を求める問題です。線分図を書いて、関係をはっきりさせることが大切になります。ここでは、出てくる数量のうちの1つをもとにして○倍、△倍となりますので、もとにする量をマル1と表します(「○の中に数字」の表記が文字化けしてしまう可能性がありますので、マル1、マル2と表記させて頂いております)。くらべる量が2倍ならマル2、3倍ならマル3、…などと表し、マルの数どうしは、足したり、引いたりができることを使います。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、2量の分配算で、和が与えられている問題です。予習シリーズ45ページの解き方にある線分図を参照してください。

  1. 赤い金魚が白い金魚の3倍いますから、白い金魚の数をマル1とすると、赤い金魚の数はマル3となりますので、合計20匹は、マル4となります。20÷4=5より、マル1は5ですから、白い金魚は、5匹います。
  2. 妹の出したお金をマル1とします。姉の出したお金は、妹が出したお金の2倍より80円多いですから、マル2+80円となり、合計は、マル3+80円です。これが500円ですので、500−80=420円がマル3となります。よって、420÷3=140より、妹は、140円出しました。 これらの問題のように、和が与えられている場合は、マルの数も和を考えます。

「必修例題2」は、年令の問題で、差が与えられている問題です。
 24才年上とは、差が24才ということです。子の年令をマル1とすると、父の年令はマル4です。この差が24才ですから、24÷(4−1)=8より、マル1が8才ですから、マル4は8×4=32より、父の年令は32才です。また、8+24=32としてもよいです。

「必修例題3」は、同じ金額を出した後の、残りのお金の関係が倍の関係で与えられた問題です。同じ数量が減る場合には、はじめの量の差は、減った後でも変わらないことに注目します。予習シリーズ46ページの解き方にある線分図を参照してくだい。
 弟の残りの金額をマル1とすると、兄の残りの金額はマル4で、この差は、2人がはじめに持っていた金額の差である、(800−350=)450円です。450÷(4−1)=150より、弟は、残りの金額が150円となりましたので、350−150=200円をプレゼントに使ったことになります。よって、2人は同じ金額を出しましたから、200×2=400より、プレゼントの代金は400円です。

【攻略ポイント2】

「必修例題4」は、3量の分配算です。この問題では、問題文に出ていない、三角形の3つの角の大きさの和は180度であることを前提として考えなければなりません。角Aの大きさをマル1とすると、角Bはマル2で、角Cは、マル2−20度と表すことができます。3つの角を合計すると、マル1+マル2+マル2−20度となりますので、まとめると、マル5−20度で、これが180度となります。よって、(180+20)÷5=40より、マル1は、40度となりますので、角Aの大きさは、40度です。

「必修例題5」は、やりとり算です。やりとりの問題では、やりとり前とやりとり後で、数量の合計はかわらないことに注目します。  3人の持っているカードの合計枚数は、やりとり後も48枚です。やりとり後に、3人の持っている枚数は等しくなりましたので、48÷3=16枚ずつになりました。はじめに持っていた枚数を、AはA枚、BはB枚、CはC枚として、やりとりの変化をみますと、A−5=16枚、B+5−12=16枚、C+12=16枚となります。よって、16+12−5=23より、Bは、はじめに、23枚持っていたことになります。

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