鉄人の一通入魂

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2016.3.17配信
絶対に役立つ中学受験専門プロ家庭教師からの必勝アドバイス!
四谷大塚・早稲田アカデミー5・6年生 予習シリーズ算数上 第7回攻略ポイント

<算数 6年上 第7回 >

第7回は『数(1)』です。約数・倍数に関連した色々な問題を、復習を兼ねて学習します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1(2)」は、ある数の倍数ではない数の個数を求める問題です。1から1000までの数のうち、3か5で割り切れる数の個数を引いて求めます。3で割り切れる数、つまり3の倍数は、1000÷3=333あまり1より、333個あります。また、5で割り切れる数、つまり5の倍数は、1000÷5=200より、200個あります。333+200=533個の中には、共通の数、つまり3と5の公倍数が2回ずつ数えられています。3と5の公倍数は、3と5の最小公倍数である15の倍数ですから、1000÷15=66あまり10より、66個除きます。よって、533−66=467個が、3か5で割り切れる数の個数です。そこで、3でも5でも割り切れない数は、1000−467=533より、533個です。 「別解」として、周期を考えた解き方を説明します。3と5の最小公倍数である15を1組とする数列をつくります。1、2、3、…と、15までを一列、16から30までを一列、31から……として、列を変えて書いてみます。3でも5でも割り切れない数は、15までに、{1、2、4、7、8、11、13、14,}の8個あります。また、15の後30までに、{16、17、19、22、23、26、28、29}の8個です。以下もこのように続き、左から順に同じ位置の数が残っています。そこで、1000÷15=66組あまり10より、1組の中に8個ずつ66組と、あまり10の中に{1、2、4、7、8}と同じ位置の5個があります。8×66+5=533より、533個と求められます。

「必修例題2(2)」は、公倍数を考える問題です。ある3けたの整数を□とします。問題文を整頓すると、(ア)□+5=3の倍数 と表せます。(イ)□+3=5の倍数 と表せます。(ア)の式の等号の左右に3を加えると、□+5+3=(3の倍数)+3になり、等号の右側はやはり3の倍数です。(イ)の式の等号の左右に5を加えると、□+3+5=(5の倍数)+5になり、等号の右側はやはり5の倍数です。結果、等号の左側はどちらも、 □+8で、この数が 3の倍数であり、5の倍数ですから、3と5の公倍数です。よって、□+8は、3と5の最小公倍数の倍数である15の倍数ですから、(100+8)÷15=7あまり3より、15×(7+1)−8=112より、3けたで最も小さい整数は、112となります。

【攻略ポイント2】

「必修例題4(2)」は、3つの整数をある整数Aで割ったときのあまりが同じになる問題です。例えば、14、17、23のように、3 (Aにあたるもの) で割ると2あまる数を考えます。2つの整数の差は、17−14=3、23−17=6、23−14=9となり、差はすべて3の倍数です。このように、整数Aで割ったときのあまりが同じになる整数の場合、整数どうしの差は整数Aの倍数です。言いかえる、整数Aは、割られる整数の共通の約数、つまり公約数です。問題の整数61、97、151の2組の差を求めます。97−61=36、151−97=54です(151−61など、ほかの2つの整数の組み合わせでもかまいません)。よって、36と54の最大公約数は、18ですから、割った整数Aの最大の数は、18です。

【攻略ポイント3】

「必修例題5(2)」は、約数の個数が3個の整数を考える問題です。素因数分解を利用した約数の個数の求め方を利用します。ある素数をAとしますと、約数の個数が3個の整数は、素因数分解の形が、A×Aとなります。よって、2×2=4、3×3=9、…と続きます。よって、素数の小さい方から5番目の11を使った、11×11=121より、121が答えです。

「必修例題5(3)」は、約数の個数が4個の整数を考える問題です。(2)と同様、ある素数をA、別の素数をBとして、素因数分解の形が、A×Bとなります。また、A×A×Aの形も、約数の個数は4個です。A×Bの形では、小さい方から順に、2×3=6、2×5=10、2×7=14、3×5=15、3×7=21、2×11=22、…と続きます。また、A×A×Aの形では、2×2×2=8、3×3×3=27、…と続きます。よって、21は、6、8、10、14、15、21、の6番目になります。

<算数 5年上 第7回 >

第7回は『食塩水』です。食塩水(水に食塩を加えたもの)の重さを元として、その中にとけている食塩の重さを比べる、割合の問題です。元となる食塩水の重さには、食塩の重さが含まれることに注意しましょう。また、濃さの単位は%ですが、計算上は、小数か分数を使用することも注意です(分数で計算するとスピードアップになります)。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、基本のトレーニングです。「食塩水の重さ×食塩水の濃さ=食塩の量」を基本に整頓します。(1)食塩水の重さに注意します。濃さを□%として整頓すると、(100+25)×□=25となります。□=25÷125と計算できますが、濃さの単位は%ですから、計算上でてくる数量を100倍して%の単位にします。□×100=25÷125×100=20より、食塩水の濃さは20%です。(2)濃さは8%ですから、計算上8/100として、150×8/100=12より、とけている食塩の重さは、12gです。(3)水の重さを□gとして整頓すると、(□+15)×6/100=15となります。□=15÷6/100−15=250−15=235より、水の重さは、235gです。

【攻略ポイント2】
 

「必修例題2(2)」は、食塩水の水を加える混合問題です。水を加えても、食塩の重さは変わらないことに注目します。(2)食塩の重さは、250×8/100=20gです。加える水の重さを□gとして、整頓すると、(250+□)×5/100=20となります。□=20÷5/100−250=150より、加えた水の重さは150gとなります。

「必修例題3」は、食塩水に食塩を加える混合問題です。食塩を加えると、食塩水も増えることに注意します。(1)はじめの食塩の重さは、300×4/100=12gです。よって、食塩を20g加えた後の濃さを□%として、整頓すると、(300+20)×□/100=12+20となります。□/100=32÷320ですので、100倍して、□/100×100=10より、濃さは10%です。(2)はじめの食塩の重さは、150×12/100=18gです。加えた食塩の重さを□gとして整頓すると、(150+□)×20/100=18+□となりますが、これでは、□を求めることができません。そこで、変化していない水の重さに注目します。食塩水全体の12%が食塩の重さですから、100−12=88%が水の重さです。150×88/100=132gである水の重さは、食塩を加えた後では、100−20=80%になります。よって、加える食塩の重さを□gとして、水の重さについて整頓すると、(150+□)×80/100=132より、□=132÷8/100−150=15より、加えた食塩の重さは15gとわかります。

【攻略ポイント3】

「必修例題5」は、食塩水どうしの混合問題です。(1)では、それぞれの食塩の重さを求めて、食塩水の重さの合計、食塩の重さの合計を使い濃さを求めます。200×4/100=8、300×9/100=27ですので、濃さを□%として整頓すると、(200+300)×□/100=8+27となります。□/100=35÷500ですので、100倍して、□/100×100=7より、2つの食塩水を混ぜてできた食塩水の濃さは、7%です。(2)濃さを□%とした食塩水200gの、食塩の重さは200×□/100=2×□となります。もう一方の食塩水では、食塩の重さは、100×5/100=5です。整頓すると、 (200+100)×7/100=2×□+5となります。300×7/100=21で、21=2×□+5となります。□=(21−5)÷2=8より、200gの食塩水の濃さは、8%でした。

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