鉄人の一通入魂

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2016.3.9配信
絶対に役立つ中学受験専門プロ家庭教師からの必勝アドバイス!
四谷大塚・早稲田アカデミー5・6年生 予習シリーズ算数上
第6回攻略ポイント

<算数 6年上 第6回 >

第6回は『立体図形(1)』です。回転体の体積・表面積、展開図の利用、投影図の問題、立体の切断を学習します。

【攻略ポイント1】

「必修例題1」は、平面図形を、1つの辺を回転の軸にして回転させて作った立体(回転体といいます)の問題です。どのような立体になるかを調べるには、回転の軸を線対称の軸として、線対称図形をかき、対応する点どうしを、丸みをつけて結びます(テキスト64ページの解き方にある図)。(1)立体を上部の円柱部分と、下部の円すい台(円すいを、底面に平行な面で切断した下部の立体)部分に分けて考えます。円柱は、底面の半径3cm、高さ4cmでので、その体積は、3×3×3.14×4=36×3.14で求めます。円すい台は、底面の半径6cm、高さ8cmの円すいの体積から、底面の半径3cm、高さ4cmの円すいの体積をひいて求めます。その体積は、6×6×3.14×8÷3−3×3×3.14×4÷3=(6×6×8−3×3×4)×3.14÷3=84×3.14です。よって、36×3.14+84×3.14=(36+84)×3.14=376.8より、円柱と円すい台の合計であるこの回転体の体積は、376.8立方cmとなります。3.14を用いる式がいくつか出てきたときは、3.14計算を最後にまとめてするようにしましょう。(2)表面積は、底面積2つと側面積2つの合計です。まず、円すいの側面積は、母線×底面半径×円周率 で求められることを確認しておきましょう。円柱と円すいの底面積の和は、3×3×3.14+6×6×3.14=(9+36)×3.14=45×3.14です。円柱と円すい台の側面積の和は、3×2×3.14×4+10×6×3.14−5×3×3.14=(24+60−15)×3.14=69×3.14です。よって、(45+69)×3.14=114×3.14=357.96より、表面積は、357.96平方cmです。

【攻略ポイント2】

「必修例題2(1)」は、立体に糸をピンと張る問題です。この問題では、糸が通過する面の展開図をかいて考えます。また、ピンと張るということは、最短になるということで、展開図上では直線になります。テキスト65ページの解き方の図を参照して下さい。展開図の中にある、三角形ADFと三角形ACEが相似であることを利用して、CEの長さを求めます。CE:DF=AE:AFです。つまりCE:12=(6+4):(6+4+6)ですから、比例式の性質を使って、12×10÷16=7.5より、Cの高さ(=CEの長さ)は、7.5cmとわかります。

【攻略ポイント3】

「必修例題4」は、立方体の切断の問題です。切断の基本は2つです。切断面の回りの直線(切断線と名付けます)について、(ア)同じ表面にある2点は、切断線として直線で結べる。(イ)平行な表面には、平行な切断線が引ける。という2つのポイントがあります。 (1)点AとCは面ABCD上にあるので切断線で結べます。点CとQも同様です(面BCGF)。点QとAも同様です(面ABFE)。よって、切断面は、3つの点A、C、Qを順に結んだ(二等辺)三角形ACQとなります。(2)点AとDは同じ面というより、辺ですから当然、切断線で結べます。点DとRは、面DCGH上の2点ですから、切断線で結べます。この面DCGHと平行な面ABFE上に点Aからひける切断線は、直線DRと平行になりますので、CR=BQより、切断線AQとなります。また、点RとQは、面BCGD上の切断線になり、切断線ADと平行です。よって、切断面は四角形ADRQで、長方形です。(3)点CとFは、面BCGF上の切断線です。点FとPも、面ABFE上の切断線です。そして、面BCGFと平行な面ADHE上に、切断線CFと平行な直線が点Aからひけることになります。この直線は、辺AD上を通ります(辺ACとの交点をSとします)が、面ADHE上の三角形ASPは、面BCGF上の三角形BCFと相似になります。結果として、切断面ASCFは(等脚)台形となります。

<算数 5年上 第6回 >

第6回は『円(2)』です。円とおうぎ形について、面積と、円周や弧(こ)の長さの求め方を学習します。円の計算では、円周率としての3.14という小数のかけ算や、分子を中心角の大きさ、分母を360度とする「中心角/360」という分数のかけ算が数多く使われます。そこで、計算上の注意が必要となります。

【攻略ポイント1】

「必修例題2」では、公式を使って円周や弧の長さを求めます。(1)円周の長さは、直径(半径×2)×円周率、です。8×3.14=25.12より、円周の長さは、25.12cmとなります。(1)弧の長さは、円周の長さ×中心角/360です。9×2×3.14×120/360=6×3.14=18.84より、弧の長さは、18.84cmです。このように、3.14の計算は、それ以外を計算した後で、最後に計算することをお勧めします。

【攻略ポイント2】

「必修例題3(1)」は、角度を求める問題です。円に関係した角度の問題では、半径を新たにひいて考えることが多くあります。つまり、長さの同じ半径を使うことで、二等辺三角形の性質を利用します。直線PB、QBをひくと、どちらも半径ですから、三角形APBも三角形AQBも正三角形になります。よって、角PAB=角QAB=60度です。60×2=120より、角PAQの大きさは120度とわかります。(2)2つの円が重なっている部分のまわりの長さは、円の一部、つまり弧でできています。弧PBQの長さは、半径6cm、中心角である角PAQは120度です。また、もう一方の弧PAQも同じ長さです。6×2×3.14×120/360×2=8×3.14=25.12より、まわりの長さは、25.12cmです。

【攻略ポイント3】

「必修例題5」は、円に関連した図形の面積を求める問題です。面積公式の成り立ちを理解して、公式を使えるようにしましょう。この問題の形をはっぱ形といいますが、四分円(円を4分割したおうぎ形)の面積から、直角二等辺三角形の面積を引いて求めた形を2つ合わせて、はっぱ形にします。10×10×3.14×1/4=25×3.14=78.5より、半径10cmの四分円の面積は、78.5平方cmです。また、1辺10cmの直角二等辺三角形の面積は、10×10÷2=50より、50平方cmです。よって、(78.5−50)×2=57より、はっぱ形の面積は、57平方cmです。
 別の解き方もご紹介しましょう。四分円を上下さかさまに重ね合せると、正方形の面積に、求めるはっぱ形の部分のみが二重に上積みされたかたちとなります。そこで、はっぱ形の面積は、「2つの四分円の面積の和から、正方形の面積をひく」というやり方でも求められます。10×10×3.14×1/4×2−10×10=10×10×3.14×1/2−10×10=10×10×(1.57−1)=10×10×0.57=57として上記と同じ結果になります。
 まず面積公式の成り立ちをしっかり理解したうえで、慣れてきたら、このはっぱ形の面積は、正方形の1辺の長さを□とした場合、□×□×0.57で求められることも確認しておきましょう。ただし、この「×0.57」が成り立つのは、円周率が3.14の場合に限られます。円周率が3など、別の値で設定された場合は、数値が変わってきますので気をつけましょう。

なお、3.14の計算についてですが、3.14に1けたの数をかけた計算結果は、覚えておくとよいです。また、中心角/360の約分結果も、よく使われる中心角については、覚えましょう。

われわれ中学受験鉄人会のプロ家庭教師は、常に100%合格を胸に日々研鑽しております。ぜひ、大切なお子さんの合格の為にプロ家庭教師をご指名ください。

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