鉄人の一通入魂

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2015.10.20配信
絶対に役立つ中学受験専門プロ家庭教師からの必勝アドバイス!
予想問題付き!サピックス5年生 11月18日(水)マンスリーテスト算数攻略ポイント

今回も攻略ポイントだけでなく予想問題付きです。マンスリー過去問を分析し最も出題される可能性が高い問題を揃えてあります。しかも、2パターン用意し、マンスリーテスト前の総仕上げを念入りにできるようにしてあります。解説も準備しますので、間違えた箇所はとくに読み込んで本番で同じ間違えをしないように注意してください。

問題は11/10(火)のお昼ごろ 鉄人会のHPにアップ致します。アップが完了しましたらフェイスブック、ツイッターでお知らせ致しますので、ぜひ鉄人会のフェイスブック、ツイッターをフォローしておいてください。予想問題は11/16(月)の17時ごろまで約7日間だけの公開となります。その後は公開致しませんので入手忘れがないようにツイッターかフェイスブックのフォローをお勧め致します。 ※今回の予想問題はベータ版ですので無料です。

5年生11月のマンスリーテスト対策をお伝えします。問題文の長さも次第に長くなってきますが、じっくり取り組んで、問題にしっかり向かい合う力を鍛えましょう。

今回の範囲は、「通過算」「速さの問題(10月の復習)」「仕事算」「倍数算」「相当算」「還元算」となることが予想されます。それぞれについて順に説明をしていきます。
 なお、「○の中に数字」の表記が文字化けしてしまう可能性がありますので、マル1、マル2と表記させて頂きます。

【攻略ポイント1 通過算】

通過算では、動く主体に長さがあることで問題が難しくなってしまう、と感じているお子さんが多くいます。その点を克服するためには、動く列車や電車の先頭に人がいる、あるいはランプがある、としてその点(人も点とみなします)の動きで考えることが効果的です。点の動きとして見れば、鉄橋やトンネルを通過する場合でも、動く列車を追い抜く場合でも、動く距離の合計をより簡単に導き出すことができます。

気をつけるのは、通過するものの長さが変化するようなパターンです。「ある電車が、長さ1500mのトンネルを通過するのに50秒かかりました。同じ速さで、長さ2850mのトンネルを通過するのに1分44秒かかりました。この電車の長さは何mですか」といったタイプの問題です。
 やはり図をかくことで動きをイメージしたいところですが、ここで注意すべきことがあります。まず親御さんが何も言わずにお子さんにこの問題を解くための図をかかせてみてください。おそらく多くのお子さんがトンネルに電車が入る始点をそろえてかくと思われます。電車がトンネルを通過し終わった時点で電車の先頭の位置が異なる図になります。もちろんその図でも、同じ電車の長さを削除して、トンネルの長さの差が時間の差にあたる、と考えることもできますが、よりわかりやすい図のかき方があります。
 それは動きの終点である、電車がトンネルを通過したときの電車の先頭を上下そろえてかく、という方法です。このかき方をすると、トンネルに電車が入る時点の方に差が生まれます。同じ電車の長さを削除するのでも、このかき方の方が、視覚的に差がわかりやすくなります。言葉にするとあまり大きな違いがなく感じられるかもしれませんが、ぜひ一度試してみてください。

【攻略ポイント2 速さの問題(10月の復習)】

10月度マンスリーテストで出題範囲となった速さの問題は非常に重要で、今回のテストでもまた出題が予想されます。まず10月度マンスリーをしっかり見直して、苦手のままになっている単元がないか、確かめましょう。
また、時計算では「長針と短針のつくる角度が、ある直線によって2等分される時刻」を求める問題が出されることがあります。塾では、短針を逆向きに動かして、長針と短針を向い合せに動かす方法(シャドーと呼ばれます)で解説がされるケースが多くあります。もちろんその方法も十分に有効なのですが、この「短針を逆の向きに動かす」という仮の想定が、なかなか理解しづらいことがあります。そこで、このタイプの問題を解くにあたって、比を使う方法をお伝えします。お子さんのやりやすい方法で進めてください。
例えば「7時と8時の間で時計の長針と短針のつくる角度が、文字盤の中心と数字の6を通る直線によって2等分される時刻は7時何分ですか」といった問題があるとします。まず7時を表す時計の図をかきます。そこから問題で想定されている時刻(およそ7時20分過ぎ)まで、厳密でなくてもよいので長針・短針を動かします。ここからがポイントになります。時計の長針と短針が1分間に動く角度の大きさを比で表すと、6:0.5=12:1となります。長針が12の位置からマル12進む間に、短針は7の位置からマル1進むので、6の位置から短針までは(30+マル1)度になり、この角度が6の位置から長針までの角度と同じになります。このことから、マル12+(30+マル1)=180という式が成り立ちます。ここからマル1=150/13となり、短針が1分間に0.5度動くことから、150/13÷0.5で時刻が求まるのです。比を使うことで、お子さんにとってイメージしづらい時計の針の動きが、視覚的にわかりやすくなる効果が生まれます。ぜひ試してみてください。

 

【攻略ポイント3 仕事算】

この仕事算を攻略するのに、2つの大きなポイントがあります。1つは「できるだけ分数を使わないこと」、もう1つは「逆比を利用すること」です。 シンプルなタイプの問題で実践してみましょう。
「ある仕事をするのにA 1人では21日かかり、B 1人では28日かかります。2人でこの仕事をすると何日かかりますか」という問題があるとします。全体の仕事量からA、Bそれぞれの1日あたりの仕事量を出す、という解法自体は鉄則になりますので、しっかり覚えておいてください。 ここで全体の仕事量を1とする、という解説が多く見られます。全体を1にするという考え方が小学校の授業でも徹底されているせいかもしれませんが、結果として、A、Bの1日あたりの仕事量が1/21、1/28と分数になり、その後は分数計算で解き通さなければならなくなります。分数の計算力は鍛えられるかもしれませんが、問題を正確にできるだけ早く解くためには、分数を使うことが不利になることもあります。
ここでは、全体の仕事量を84とすれば、Aは1日で84÷21=4、Bは1日で84÷28=3の仕事量となり、この後の計算を整数で進めることができるのです。このように全体の量を1とする考え方にとらわれないことが、分数をできるだけ使わなくするというポイントにつながります。

もう1つのポイントの逆比ですが、上記で全体の仕事量を84としましたが、この数値はどのように出すことができるでしょう。多くのお子さんが「21と28の最小公倍数」と答えるでしょう。もちろんその通りなのですが、最小公倍数という考え方でなくても、この84を導き出せるのです。ここに逆比の考え方が出てきます。
全体の仕事量=1日あたりの仕事量×日数という式から考えると、全体が一定であれば、1日あたりの仕事量と日数は逆比の関係になります。この問題で考えると、
Aが1人でかかる日数:Bが1人でかかる日数=21:28=3:4から
Aの1日あたりの仕事量:Bの1日あたりの仕事量=4:3となります。
そこでAの1日当たりの仕事量をマル4とすると、全体の仕事量は4×21=84、と求められるのです。

 

もちろん最小公倍数のやり方に慣れていれば、そのやり方でも構いません。ただ、仕事量と日数が逆比の関係にあることはおさえておく方がよいでしょう。その考え方を使わなければ解くきっかけがつかめない問題もあるのです。
 例えば、次のような問題があるとします。「A、B、Cの3人で一緒に働くと6日間で仕上がる仕事があります。もし、途中でCが2日休んだとすると、その分をAとBがそれぞれ2日多く働くか、Aが1人で5日多く働けば、この仕事は仕上がります。もし、Bがこの仕事を始めてから1人で仕上げると、何日かかりますか」
さて、どのように攻略しましょうか。
 最終的に全体の仕事量をB 1人の1日あたりの仕事量で割れば、答えは出せます。では全体の仕事量をどのように数値化するか、ここでは最小公倍数を使うにも、それぞれの1日あたりの仕事量が分かっていません。ここで逆比が大きな武器になるのです。
「Cが2日休んだ分を、Aが1人で5日多く働けば仕上がる」ということから、同じ仕事量に対してAの日数:Cの日数=5:2となることより、Aの1日あたりの仕事量:Cの1日あたりの仕事量=2:5となりますので、Aの1日あたりの仕事量をマル2、Cの1日あたりの仕事量をマル5とおくことができます。次に「AとBがそれぞれ2日多く働く」ことでも仕上がるので、Cの1日あたりの仕事量=(A+B)の1日あたりの仕事量となります。Bの1日あたりの仕事量はマル5−マル2=マル3となります。これで問題を解く材料はすべてそろいました。
 全体の仕事量は、(マル2+マル3+マル5)×6=マル60、60÷3=20より20日と求められます。
 最小公倍数という考え方にとらわれ過ぎず、この逆比の考え方もぜひ取り入れてみてください。

仕事算の範囲では以下のようなタイプの問題もあります。
「Aさんの所持金は、りんごだけを買うとちょうど36個、みかんだけを買うとちょうど24個買うことができます。Aさんの所持金でりんごを18個買うと、残ったお金でみかんを何個まで買うことができますか」
 一見するとややこしそうですが、所持金を72(逆比または最小公倍数で)とおくと、あとはりんごの単価2に18個をかけた36と、もとの所持金の差額36をみかんの単価3で割れば、12個と答えが出ます。問題の内容をしっかり読めば決して難しい問題ではありません。

【攻略ポイント4 倍数算 差が一定&和が一定】

差が一定というのは、「同じ金額を2人が受け取った」あるいは「同じ金額の本を買った」といった変化があった後で、2人の量の差は変わらず、比が変化するタイプの問題です。具体的には「A君は2700円、B君は1500円を持っていて、C君から同じ金額ずつもらったので、A君の所持金はB君の所持金の2.6倍になりました」というかたちです。倍数算では線分図をかくことが必須になります。そこでまずお子さんにヒントなしで線分図をかかせてみてください。2700円、1500円の2本の直線をかいた後に、そこから線が伸びるかたちでもらった金額分をかき足すお子さんが多いかもしれません。そこで2本の直線の差を考えると、その図が少し見づらいことにお子さんは気づくでしょう。このタイプの問題では、2本の直線の基点(そろっているところ)から、量が増える場合は線が伸びる方向と逆に線を加え、減る場合には伸びる方向と同じ方に線を減らす、という方法で進めしょう。するともとからあった2700円と1500円の差がそのまま変わらないことに気づくはずです。すぐにこの方法を教えるよりも、まずお子さんにやらせてみてから、違和感に気づかせ、そしてよりよい方法を教える方が、確かな定着が見込めます。

和が一定は、「A君とB君の所持金の比は7:2でしたが、A君がB君に700円をあげたところ、所持金の比が11:4になりました」といったタイプの問題です。ここでも線分図をかくことがポイントになりますが、差が一定のパターンよりも、図はかきやすいかもしれません。大事なのは、2人の量を表す直線を上下にかくのではなく、2本をつなげて1本にする、ということです。やりとりの前後で全体量は変わりませんので、つなげた1本の長さも変わらなくなります。まず1本の直線を7:2に分ける点を記します。やりとりがあった後の直線も1本のかたちで、既存の線の下にかきます。そこから上の線(変化の前)の7の分から700円減るところに点をとり、その点から垂直に下の線にぶつけると、そこが直線を11:4にわける点になります。そこからは7+2=9と11+4=15の最小公倍数である45に数値を合わせ、上の線が35:10、下の線が33:12となるので、比の2が700円にあたる、とわかります。
 それぞれの図のかき方にしっかり慣れましょう。

【攻略ポイント5 倍数算 和も差も変化する】

倍数算の中では最もやりづらいタイプの問題です。ここでは、消去算を活用すると問題を解く速度、正確さもアップが見込めます。例えば、「A君とB君の所持金の比は4:5でした。A君は700円、B君は1400円もらったので、2人の所持金の比は3:5になりました」といった問題です。線分図をかくことはやはり必須です。A君の長さとB君の長さが4:5になるように上下に線をひき、そこにA君は700円、B君は1400円を足して、できあがった直線の長さの比が3:5になる、というところまではしっかり図にしましょう。
 ここから、新しくできた比の3、5の最小公倍数15で2本の長さをそろえて新しい線分図をかく、という方法が説明されるケースが多くあります。もちろんその方法でも解きやすくはあるのですが、この15の長さが長いため、線をとにかく長くひかなくてはならないという思いで、図をかきづらく感じることが起こり得ます。そこで、ここからは消去算で解く、という方法をご紹介します。はじめの2本の長さをマル4とマル3、後からできた長さをシカク3とシカク5とします。すると、以下のような2つの式ができます。
 シカク3=マル4+700
 シカク5=マル5+1400
ここで消去算の考え方でシカクを15に統一すると、
 シカク15=マル20+3500
 シカク15=マル15+4200
ここからマル5=700と出すことができるのです。
15にそろえるという意味では線分図を拡大することと同じですが、数値の大きな線分図 を意外とかきづらく感じるお子さんもいらっしゃいますので、そんなときにはこの方法を取り入れてみてください。

【攻略ポイント6 相当算】

この単元でも仕事算のときと同じく、「できるだけ分数を使わないこと」をポイントに解説を進めます。次のような問題をサンプルにしましょう。 「1本のテープを、はじめに全体の1/3と6cmを使い、2回目に残りの1/4と12cmを使い、3回目に残りの2/3と4cmを使い、4回目に20cmを使うと、ちょうどテープはなくなりました。もとのテープの長さは何cmでしたか」
いくつもの段階があり、また分数が多く出てきますので、少しうんざりしてしまうこともあるかもしれません。そこは我慢なのですが、少しでもその気持ちを軽くし、また間違いを減らすためにも、分数をできるだけ使わない方法で進めてみましょう。
こうしたタイプの問題では話の最後からさかのぼって解いていく、という前提はまずしっかり理解しましょう。最後に残った20cmからひとつひとつさかのぼって、はじめの長さに行きつくのです。まず、3回目に残りの2/3と4cmを使う、とあります。この「残り」という言葉に惑わされないことです。その回ごとに長さを求めていけばよいので、2回目までに作業が進んだ残りの長さを全体とします。そこで全体を1とはせずに、2/3とありますので、全体をサンカク3にしてしまいましょう。するとサンカク2と4cmを使ったのこりが20cmなので、サンカク1が4+20=24(cm)となります。よってサンカク3は72cmと求められます。次に1回目の作業の残りの1/4とありますから、全体をシカク4として、シカク1と12cmを使った残りが72cmから、(72+12)÷3×4で1回目の作業の残りが112cmとなります。そして最後に、全体をマル3として、マル1と6cmを使った残りが112cmとなることから、(112+6)÷2×3=177(cm)として答えが出せるのです。文章にかくと長くなりますが式そのものはとても簡略なものです。この一連を分数で進めようとすると、どうしても間違いが多くなる可能性が高くなります。
また、この問題ではすべての作業が6cm、12cm、4cmと多く切り取っていましたが、問題によっては短く切り取るというものが混じることがあります。そこで混乱しないように、必ず段階ごとに線分図をかいて、長さを視覚的に把握できるようにしてください。

ここまで、分数はできるだけ使わない、としてきましたが、もちろん分数を使う方が解きやすい問題もあります。その代表が「ボールのはね上がり」です。ボールを落とす高さと、ボールがはね上がる高さの割合は一定になります。この場合、その同じ分数で解いていく方が有利になることがあります。例えば次のような問題、「ボールを1mの高さから落としたところ、2回目にはね上がった高さは64cmでした。このボールの落とした高さに対するはね上がる高さの割合を求めなさい」 ここで2回はねあがるまでには、はじめの高さから割合が2回かけ合わさることになります。つまり1m=100cmから100×○/△×○/△=64となります。ここで○/△×○/△=64/100=16/25です。こうなると、答えはもうすぐそこに感じるでしょう。2つの数をかけ合わせた数(平方数)が16、25となる数は4、5とわかります。これで答えを4/5と導き出すことができるのです。このタイプで分数を使わないで、としてしまうと逆に混乱してしまいます。問題のタイプに応じて、より解きやすい方法があることを確かめましょう。

【攻略ポイント7 還元算】

還元算というと、特に計算問題での32×□÷4=256の□を求める、というかたちが浮かんできますが、ここでは、「やりとり」を扱う文章題について解説します。与えられている数値から、さかのぼって未知の数値を求めるという意味では計算問題と同じですが、よりややこしいかたちになっているので注意が必要です。  例えば、「A君、Bさん、C君がそれぞれいくらかお金を持っています。まず、A君が自分の所持金から、Bさん、C君にそれぞれの所持金と同じ金額を渡します。次にBさんが自分の所持金からA君、Cさんにそれぞれの所持金と同じ金額を渡します。最後に、C君が自分の所持金からA君、Bさんにそれぞれの所持金と同じ金額を渡します。すると、A君、Bさん、C君の3人はそれぞれ2400円ずつ持つことになります。はじめのA君の所持金は何円でしたか」という問題があるとします。
 一見して文章量が多く、お子さんからすると戸惑ってしまうかもしれませんが、やりとりを説明しているから文章が長くなっているだけで、しっかり内容が整理できれば、恐れることはありません。
 ここでも図をかくことが重要になりますが、難しい図をかく必要はありません。3回のやりとりの中でA君、Bさん、C君がそれぞれ何円を持っているかがわかるような図であればよいのです。図というよりもむしろ表に近いものです。
まず、縦でも横でも構いませんので、A、B、Cとかき並べます。これが3人のはじめの所持金を表します。そこから少し間隔をあけて、A、B、Cそれぞれの横(あるいは下)に□をかきます。ここには1回目のやりとりの後の金額をかき込むことになります。同じように間隔をあけて、また□をかき並べます。これが2回目のやりとりの後の金額をかき込む欄です。最後に間隔をあけて2400円をかき並べます。最後の3人の所持金を表します。
 ここから話をさかのぼって、□に金額をかき込んで行きます。2400円から順にやりとりをさかのぼれば、はじめの3人の所持金がわかるのです。
 この問題では「それぞれの所持金と同じ金額」というところが少し難しく感じますが、例えばA君がその時の所持金と同じ金額を受け取った場合、A君の所持金は2倍になります。そのように数値化できれば、決して解きづらくはなくなります。
 □をかくのに少し間隔をあけたのは、そこにお金の移動する向きを表す矢印や金額をかき込めるようにするためです。
最後に2400円持っていたということは、最後のやりとりでA君、Bさんの所持金は2倍になったのですから、2回目のやりとりの後(最終のやりとりの前の段階)で、A君は1200円、Bさんも1200円持っていたことになります。2人に1200円ずつ渡した結果C君は2400円になったので、C君は2回目のやりとりの後で4800円持っていたことになります。空欄にそれぞれの数値をかき入れましょう。
 同じようにさかのぼって、2回目のやりとりは、BさんからA君、C君へとお金が移動して、A君、C君の所持金が2倍になりましたので、1回目のやりとりの後に、A君は600円、Bさんは4200円、C君は2400円持っていることになります。そして最後に同じようにさかのぼって、はじめの所持金がA君3900円、Bさん2100円、C君1200円と求められます。
 このタイプの問題で気をつけるのは、図の空欄に正確に数値を記入すること、そして、全体の量(この問題では3人の所持金の合計)が一定である点に留意することです。全体の量が一定なので、空欄にかき入れた数値の和が一定になっているかどうか、で数値が正しいかどうかの確かめができます。

問題によっては、「自分の所持金の1/5を渡す」といった分数のパターンもありますが、解き方は同じです。図のかき方にしっかり慣れれば、得点できるチャンスが大きく広がる問題ですので、頑張って取り組みましょう。

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