鉄人の一通入魂

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2008.06.06 配信
絶対に役立つ中学受験専門プロ家庭教師からの必勝アドバイス!
『受験算数の最重要分野「速さと比」の解法の軸を作る』

今回は、受験算数の最大のテーマである「速さと比」の解法について考えます。この分野は受験算数の中で一番ボリュームがあり、問題パターンや解法も非常に多岐にわたります。そこで、様々な解法の出発点として、軸となる2つの考え方、公式を取り上げてみます。

【問題1】

A君は普段は7時50分に家を出て分速50mで歩き、始業時刻の6分前に学校に着きます。ある日A君は寝坊してしまい、家を出るのが8時2分になったため、分速75mで歩いて始業時刻の2分前に学校に着きました。この学校の始業時刻は何時何分ですか。

【解説】

これは、「進む距離が一定であれば、速さの比と所要時間の比は逆になる」ということを利用する典型的な問題です。

その前に、まずは2種類の速さで歩いた場合の所要時間をまとめておきましょう。

  • ・普段  7時50分に出発して始業時刻の6分前に到着
  • ・この日 8時2分に出発して始業時刻の2分前に到着

この日はいつもよりも12分遅く出発したにもかかわらず、到着時刻は4分しか遅くなっていない。つまり、所要時間を比べると、この日は普段よりも8分短かった。

次に、この問題のメインテーマである「速さと時間は逆比」を使います。家から学校までの距離はどの日でも同じですから、「遅く歩けばたくさん時間がかかり(速さ小⇒時間大)、速く歩けば短い時間で着く(速さ大⇒時間小)」わけです。つまり、「進む距離が同じであれば、速さの比と所要時間の比は逆」なのです。

  • ・速さは、普段:この日=50:75=2:3
  • ・ということは所要時間は(3):(2)はず。
  • →所要時間の差=(1)=8分
  • →普段の所要時間=(3)=24分、この日の所要時間=(2)=16分  とわかります。
  • 7時50分の24分後=8時14分(普段はこの時刻に学校に着く)
  • 8時14分の6分後=8時20分

A. 8時20分

【問題2】

太郎君はA地から、次郎君はB地から、向かい合って同時に出発しました。太郎君は出発してから12分後にC地で次郎君とすれ違い、その9分後にB地に着きました。次郎君がA地に到着するのは、B地を出発してから何分後ですか。(もちろん、二人はそれぞれ一定の速さで休まずに歩き続けるものとします。)

【解説】

まずは太郎君の視点に立ち、「A地〜C地、C地〜B地」の間の距離の関係を考えます。太郎君はずっと一定の速さで歩き続けているのですから、「たくさん時間がかかった⇒距離が長い、少しの時間でついた⇒距離が短い」という関係が成り立ちます。あえて公式化するなら「同じ速さの人であれば、所要時間の比と進んだ距離の比は等しい」と言えます。つまり

  • ・太郎君は、A〜Cは12分かかり、C〜Bは9分かかった。
  • ・ということは、A〜CとC〜Bの距離の比は4:3である。
  • A地 〜 (4) 〜 C地 〜 (3) 〜 B地 ということがわかります。

次に、この距離の比を使って「太郎君と次郎君の速さの比」を考えます。

  • ・太郎君は12分で(4)の距離を進んだ。
  • ・次郎君は同じ12分で(3)の距離しか進んでいない。
  • →太郎君のほうが速い。 →二人の速さの比は、太郎君:次郎君=4:3である。

A. 28分後

いかがでしたでしょうか。 速さと比の問題は多くの受験生を悩ませますが、ここに挙げた2つの公式、すなわち「進む距離が同じであれば、速さの比と所要時間の比は逆になる」と「同じ速さの人であれば、所要時間の比と進んだ距離の比は等しい」をきちんと使えるようになれば、解ける問題の数は一気に増えるのです。しかし、この公式を「きちんと理解」できている受験生は、この時期にはまだまだ少ないのが現状です。様々な解法の手始めにまずはこの2つを身につけましょう。その後、様々なパターンの問題を解いていけば、効率的にそれぞれの解法を理解し、身につけることができるようになります!頑張ってください!!

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